Umkehrabbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab ein paar Fragen, zur Umkehrabbildung.
Für welche Abbildungen sind Umkehrabbildungen definiert?
In einem meiner Bücher steht, dass die Originalabbildung "nur" injektiv sein muss.
In meiner Vorlesung hab ich einen Satz, der besagt, dass es eine Umkehrabbildung gibt, genau dann wenn die Originalabbildung bijektiv ist.
Irgendwie versteh ich das nicht.
Gibt es nicht schon immer genau dann eine Umkehrabbildung, wenn die Originalabbildung injektiv ist?
Warum brauche ich die Surjektivität?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mo 17.08.2009 | | Autor: | statler |
Hallo Nadine!
> Ich hab ein paar Fragen, zur Umkehrabbildung.
>
> Für welche Abbildungen sind Umkehrabbildungen definiert?
>
> In einem meiner Bücher steht, dass die Originalabbildung
> "nur" injektiv sein muss.
>
> In meiner Vorlesung hab ich einen Satz, der besagt, dass es
> eine Umkehrabbildung gibt, genau dann wenn die
> Originalabbildung bijektiv ist.
Wenn man sich an ![[]](/images/popup.gif) Bourbaki orientiert, ist es so richtig. Weil zu einer Abb. f: A [mm] \to [/mm] B auch der Definitionsbereich A und der Bildbereich B gehören. Eine Abb. ist nicht nur die Abbildungsvorschrift (die Zuordnung).
> Irgendwie versteh ich das nicht.
>
> Gibt es nicht schon immer genau dann eine Umkehrabbildung,
> wenn die Originalabbildung injektiv ist?
Dann kannst du die Umkehrabb. zunächst nur auf der Bildmenge f(A)definieren. Sie muß aber von B nach A gehen.
> Warum brauche ich die Surjektivität?
Z. B. damit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id|_A [/mm] und f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id|_B [/mm] ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Dieter!
> Dann kannst du die Umkehrabb. zunächst nur auf der
> Bildmenge f(A)definieren. Sie muß aber von B nach A
> gehen.
Heißt das dann, das wenn ich von $B$ nach $A$ abbilde (für Werte aus $B$, die nicht zu $f(A)$ gehören), dass der erste Abbildungspunkt, also $f(y), y [mm] \in [/mm] B$ außerhalb von $A$ liegt, weil die Abbildung $f$ Werte aus $A$ nicht nach $B-f(A)$ abbildet?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 17.08.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
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> > Dann kannst du die Umkehrabb. zunächst nur auf der
> > Bildmenge f(A)definieren. Sie muß aber von B nach A
> > gehen.
>
> Heißt das dann, das wenn ich von [mm]B[/mm] nach [mm]A[/mm] abbilde (für
> Werte aus [mm]B[/mm], die nicht zu [mm]f(A)[/mm] gehören), dass der erste
> Abbildungspunkt, also [mm]f(y), y \in B[/mm] außerhalb von [mm]A[/mm] liegt,
> weil die Abbildung [mm]f[/mm] Werte aus [mm]A[/mm] nicht nach [mm]B-f(A)[/mm]
> abbildet?
Das verstehe ich nicht wirklich. Wenn g: B [mm] \to [/mm] A die Umkehrabb. von f sein soll, muß ich doch sagen können, was g(y) für y [mm] \notin [/mm] f(A) sein soll. Wie ist denn für dich der Begriff 'Umkehrabb.' überhaupt definiert?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Dieter.
> Das verstehe ich nicht wirklich. Wenn g: B [mm]\to[/mm] A die
> Umkehrabb. von f sein soll, muß ich doch sagen können,
> was g(y) für y [mm]\notin[/mm] f(A) sein soll. Wie ist denn für
> dich der Begriff 'Umkehrabb.' überhaupt definiert?
Hmm, ja, achso.
Ja, wie haben die Umkehrabbildung von [mm] $f:M\to [/mm] N$ als eine Abbildung [mm] $f:N\to [/mm] M$ definiert mit [mm] $f^{-1}\circ f=id_M$ [/mm] und [mm] $f\circ f^{-1}=id_N$.
[/mm]
Ich war/bin jetzt irgendwie verwirrt, weil das eine Buch sagt, Injektivität reicht, und die Vorlesung sagt, dass ich Bijektivität brauche.
Warum genau brauche ich denn für [mm] $f^{-1}\circ f=id_M$ [/mm] und [mm] $f\circ f^{-1}=id_N$ [/mm] die Surjektivität?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Mo 17.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Ja, wie haben die Umkehrabbildung von [mm]f:M\to N[/mm] als eine
> Abbildung [mm]f:N\to M[/mm] definiert mit [mm]f^{-1}\circ f=id_M[/mm] und
> [mm]f\circ f^{-1}=id_N[/mm].
>
> Ich war/bin jetzt irgendwie verwirrt, weil das eine Buch
> sagt, Injektivität reicht, und die Vorlesung sagt, dass
> ich Bijektivität brauche.
>
> Warum genau brauche ich denn für [mm]f^{-1}\circ f=id_M[/mm] und
> [mm]f\circ f^{-1}=id_N[/mm] die Surjektivität?
Für die zweite dieser Gleichungen. Damit [mm]f\circ f^{-1}=id_N[/mm] gelten kann, muss [mm] $f^{-1}$ [/mm] auf ganz N definiert sein. Und das geht nur dann, wenn es zu jedem [mm] $y\in [/mm] N$ ein [mm] $x\in [/mm] M$ gibt, sodass $f(x)=y$, also wenn f surjektiv ist.
Ich vermute, die Verwirrung kommt von etwas unterschiedlichen Definitionen. Vielleicht meint das eine Buch nur die Umkehrabbildung auf dem Bild $f(N)$. Wenn ich nämlich den Wertebereich einschränke auf die Werte, die überhaupt angenommen werden, also [mm] $f:N\rightarrow [/mm] f(N)$ betrachte, dann ist die Funktion f ja automatisch surjektiv.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer.
Hmm, ja, ich glaube, ich verstehe, was du meinst.
Ich muss mir das nochmal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen.
LG, Nadine
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