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Hallo!
Ich wollte fragen, warum die Ableitungs-Regel für Umkehrf. nur für streng monotone Funktionen gilt... Ist es deshalb:Im Beweis steht außerdem das wenn f im Punkt x diffbar. ist auch [mm] f^{-1} [/mm] im Punkt y=f(x) diffbar. ist wenn [mm] f'(x)\not=0.
[/mm]
Die beiden Sachen hängen zusammen oder? Bei streng monotonen F. ist doch nie f'(x)=0...
Ich habe zwar schon eine Ahnung, aber könnte mir noch jemand bestätigen warum die Stetigkeit vorausgesetzt wird?
Vielen Dank schonmal!
Gruß
Rishi
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Hallo Angelika,
verwechsle nicht die Begriffe "Stetigkeit" und "Monoton wachsend/fallend". Umgangssprachlich sagt man zwar, etwas wachse stetig an, aber in der Mathematik klingt das gruselig.
Nun zur Frage:
Es geht bei dieser Einschränkung weniger um die Ableitung, sondern darum, dass du zu nicht streng monotonen Funktionen nicht so einfach eine Umkehrfunktion angeben kannst. Das kann man sich recht leicht vorstellen: wenn du dir einen Funktionsgraph vorstellst wie die Parabel, dann bedeutet die Umkehrung ja grafisch eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden oder noch einfacher: du drehst dein Blatt um 90°. Du siehst sofort, dass der so entstehende Graph kein Funktionsgraph mehr ist.
Eine solche zu der Parabel gehörige quadratische Funktion kannst du entsprechend nur dann umkehren, wenn du sie auf einen der beiden Äste einschränkst.
Wenn du dir das jetzt als Prinzip überlegst, also: wie muss mein Graph verlaufen, damit es beim 90° drehen immer noch ein Funktionsgraph ist, stellst du schnell fest, dass das nur bei den streng monotonen funktioniert.
Ich hoffe, dieser (mathematisch nicht ganz exakt formulierte) Beitrag hilft dir beim Verständnis.
Gruß,
weightgainer
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