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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Mi 15.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Überprüfe die Funktion auf Bijektivität und bilde die Umkehrfunktion von
f(x)=|x-2|+2|x+1|-5. |
f(x) ist weder injektiv noch surjektiv, damit auch nicht bijektiv.
Aber für
[mm] x\in]-\infty,-1] [/mm] und [mm] f(x)\in]-2,\infty]
[/mm]
[mm] x\in[-1,2] [/mm] und [mm] f(x)\in[-2,1] [/mm]
[mm] x\in[2,\infty[ [/mm] und [mm] f(x)\in[1,\infty] [/mm]
jeweils bijektiv.
Nach einfachen Überlegungen aufgrund des Graphen von f(x), komme ich auf die Umkehrfunktionen:
f'(x)=x/3-5
f'(x)=-x-1
f'(x)=-x/3-5
Aber wie komme ich von der angegebenen Funktion auf die verscheidenen Umkehrfunktionen?
Mein Ansatz wäre:
Für Fall1: f(x)=(x-2)+2(x+1)-5
Für Fall2: f(x)=(2-x)-2(x+1)-5
Für Fall3: ???
Mir fehlt also ein Fall, und außerdem komme ich nicht darauf, was ich mir aus den Graphen abgeleitet habe.
Was mache ich falsch? Oder wie mach ichs richtig.
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Hallo,
> Überprüfe die Funktion auf Bijektivität und bilde die
> Umkehrfunktion von
>
> f(x)=|x-2|+2|x+1|-5.
>
>
> f(x) ist weder injektiv noch surjektiv, damit auch nicht
> bijektiv.
>
> Aber für
> [mm]x\in]-\infty,-1][/mm] und [mm]f(x)\in]-2,\infty][/mm]
> [mm]x\in[-1,2][/mm] und [mm]f(x)\in[-2,1][/mm]
> [mm]x\in[2,\infty[[/mm] und [mm]f(x)\in[1,\infty][/mm]
> jeweils bijektiv.
Die Intervalle für die x-Werte sind richtig! Pass an den Intervallenden aber auf, dass du die Grenzen jeweils nur in ein Intervall packst ...
>
> Nach einfachen Überlegungen aufgrund des Graphen von f(x),
> komme ich auf die Umkehrfunktionen:
>
> f'(x)=x/3-5
> f'(x)=-x-1
> f'(x)=-x/3-5
>
> Aber wie komme ich von der angegebenen Funktion auf die
> verscheidenen Umkehrfunktionen?
>
> Mein Ansatz wäre:
>
> Für Fall1: f(x)=(x-2)+2(x+1)-5
Nein, dein 1.Fall ist doch [mm]x\in(-\infty,-1][/mm]
Dort ist [mm]|x-2|=-(x-2)=2-x[/mm] und [mm]|x+1|=-(x+1)=-x-1[/mm]
Also [mm]f(x)=|x-2|+2|x+1|-5=2-x-2x-2-5=-3x-5[/mm]
Dann löse [mm]y=-3x-5[/mm] nach [mm]x[/mm] auf und mache Variablentausch [mm]x\leftrightarrow y[/mm]
> Für Fall2: f(x)=(2-x)-2(x+1)-5
2. Fall: [mm]x\in(-1,2][/mm]
Löse dort die Beträge in [mm]f(x)[/mm] auf und rechne analog zu Fall 1
> Für Fall3: ???
[mm]x\in(2,\infty)[/mm]
Genauso ...
>
> Mir fehlt also ein Fall, und außerdem komme ich nicht
> darauf, was ich mir aus den Graphen abgeleitet habe.
>
> Was mache ich falsch? Oder wie mach ichs richtig.
Gruß
schachuzipus
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