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Umkehrfunktion: Generelles Vorgehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Sa 25.03.2006
Autor: Blacky

Aufgabe
Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu [mm] f(x)=\bruch{2x}{x^2+1}. [/mm]

Gutentag,

es passiert mir recht häufig, dass ich beim Bestimmen einer Umkehrfunktion einen "Hänger" habe, weil ich einfach nicht weiß, wie man am besten vorgeht.

[mm] y=\bruch{2x}{x^2+1} \gdw y(x^2+1)=2x \gdw x^2y+y=2x \gdw y=2x-x^2y [/mm]

Und schon weiß ich nicht weiter, da ich keine Idee hab, wie ich es jetzt hinkriege das x zu "isolieren". Aufgrund des [mm] x^2 [/mm] denke ich, dass die Umkehrfunktion eine Wurzel enthalten müsste, aber ich weiß nicht weiter... Gibt es irgendwelche Tricks wie man bei solchen Problemen am besten vorgeht?

mfg blacky

        
Bezug
Umkehrfunktion: p/q-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Sa 25.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Blacky!


> [mm]\gdw x^2y+y=2x[/mm]

Bringe hier alles auf eine Seite der Gleichung (z.B. durch $- \ 2x$) und teile anschließend durch $y_$ .

Damit hast Du dann eine quadratische Gleichung in Normalform, die Du mit der MBp/q-Formel lösen kannst.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Sa 25.03.2006
Autor: Blacky

Danke loddar, ich habs mit ner quadratischen Ergänzung gemacht und es hat hingehaun :)

[mm] f^{-1}(y)=\wurzel{(\bruch{1}{y^2}-1)}+\bruch{1}{y} [/mm]

So, ich glaube aber unser Lehrer hat einen Fehler bei der Mengenangabe gemacht. Er hat geschrieben:

[mm] f:[1;\infty[\to\IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{2x}{1+x^2} [/mm]

Kann es sein, dass es heißen muss [mm] [1;\infty[\to]0;1] [/mm] ? Sonst kommt das mit der Umkehrfunktion glaub ich nich hin?! Denn wenn man einfach aus [mm] \IR [/mm] einsetzen dürfte, bekäme man fast immer etwas Negatives unter die Wurzel.

mfg blacky

Bezug
                        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Sa 25.03.2006
Autor: mathmetzsch

Hallo,
> Danke loddar, ich habs mit ner quadratischen Ergänzung
> gemacht und es hat hingehaun :)
>  
> [mm]f^{-1}(y)=\wurzel{(\bruch{1}{y^2}-1)}+\bruch{1}{y}[/mm]

Super! Beachte aber, dass nach dem Umstellen die Variablen noch vertauscht werden, also [mm]f^{-1}(x)=\wurzel{(\bruch{1}{x^2}-1)}+\bruch{1}{x}[/mm]

>  
> So, ich glaube aber unser Lehrer hat einen Fehler bei der
> Mengenangabe gemacht. Er hat geschrieben:
>  
> [mm]f:[1;\infty[\to\IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{2x}{1+x^2}[/mm]
>  
> Kann es sein, dass es heißen muss [mm][1;\infty[\to]0;1][/mm] ?
> Sonst kommt das mit der Umkehrfunktion glaub ich nich hin?!
> Denn wenn man einfach aus [mm]\IR[/mm] einsetzen dürfte, bekäme man
> fast immer etwas Negatives unter die Wurzel.

Richtig, der Wertebereich muss eingeschränkt werden. Beachte aber, dass man nur Werte aus [mm] -1\le x\le1 [/mm] einsetzen darf (Die 0 ausgenommen!). Sonst ist der Radikand immer <0.

>  
> mfg blacky

Viele Grüße
Daniel

Bezug
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