Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | | Es sei f:D [mm] \to [/mm] W eine bijektive Funktion, die in a [mm] \in [/mm] D diff'bar sei, wobei f'(a) [mm] \not= [/mm] 0 sei. Die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] (Existenz?): W [mm] \to [/mm] D sei b:=f(a) stetig. Zeigen Sie, dass dann [mm] f^{-1} [/mm] in b diff'bar ist und das [mm] f^{-1}'(b)=\bruch{1}{f'(a)} [/mm] gilt. |
... So weit die Aufgabenstellung! Jedoch weiß ich nicht so recht wie ich anfangen soll und ich dachte vielleicht könntet ihr mir da weiterhelfen.
Das die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] exisitiert ist klar, da wir von einer bijektiven Funktion ausgehen und somit folg dies unmittelbar aus der Defintion. Aber wie gehts weiter ...?
Für eure Tipps und Lösungshilfen vorab schon mal vielen Dank!
Mfg Schobbi
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> Es sei f:D [mm]\to[/mm] W eine bijektive Funktion, die in a [mm]\in[/mm] D
> diff'bar sei, wobei f'(a) [mm]\not=[/mm] 0 sei. Die Umkehrfunktion
> [mm]f^{-1}[/mm] (Existenz?): W [mm]\to[/mm] D sei b:=f(a) stetig. Zeigen Sie,
> dass dann [mm]f^{-1}[/mm] in b diff'bar ist und das
> [mm]f^{-1}'(b)=\bruch{1}{f'(a)}[/mm] gilt.
Hallo,
daß [mm] f^{-1} [/mm] differenzierbar in b zeigt man, indem man zeigt, daß der Grenzwert
[mm] \limes_{y \rightarrow b}\bruch{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b} [/mm] existiert.
Wann existiert dieser Grenzwert?
Wenn für jede Folge [mm] (y_n) [/mm] mit [mm] y_n [/mm] -->b
[mm] \bruch{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(b)}{y_n-b} [/mm] gegen denselben Wert konvergiert.
Sei nun [mm] (y_n) [/mm] eine Folge, die gegen b konvergiert.
Da [mm] f^{-1} [/mm] n.V. stetig in b, konvergiert [mm] f^{-1}(y_n):=x_n [/mm] gegen [mm] f^{-1}(b)=a
[/mm]
Nun hat man
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(b)}{y_n-b}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x_n-a}{f(x_n)-f(a)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{...}=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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