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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Sa 01.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Hi ihr,
bin grad Mal wieder dabei, ganz fließig meine Hausaufgaben zu erledigen und wollte euch bitten, Mal zu schauen, ob meine Gedanken richtig sind und mir noch ein paar Tipps zu geben, bei einer Aufgabe, wo ich nich mehr so richtig zu recht komme.
Also:
1. Aufgabe:
Beweisen Sie die Stetigkeit der Umkehrfunktion Arsinh: [mm] \IR \to \IR [/mm] und zeigen Sie Arsinh(x) = ln(x + [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] .
Meine Variante:
Ich definiere y:= Arsinh(x)
[sinh(y) = x, d.h. exp(y) - exp(-y) = 2x]
Mit u:= exp(y) erhält man für u>0:
u-1/u = 2x [mm] \gdw [/mm] u = x + [mm] \wurzel{x²+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y = ln u + ln (x + [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] )
ln (x + [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] ) ist stetig, denn f(x)=x² ist stetig, da es ein Polynom ist (siehe Bsp (a) unter Satz 11.2). f2(x)=x²+1 ist ebenfalls stetig, was uns der Satz 11.2 sagt. [mm] \wurzel{f2(x)} [/mm] = f3(x) ist doch auch stetig, oder?? (Gibt es einen Satz, der uns das für Wurzeln sagt???)
Ich nehme jetzt einfach Mal an, dass ich mit meiner Vermutung richtig liege und Wurzeln stetig sind. Dann folgt ja daraus, dass x + f3(x) = f4(x) ebenfalls stetig sein muss, nämlich wieder nach Satz 11.2
Arsinh(x) = ln[f4(x)] ist doch auch stetig?? Oder?? Dazu hab ich auch nichts in meinen Aufschriften gefunden. Oder kommt das erst später? Hm ...
Naja, daraus folgt ja dann die Umkehrfunktion Arsinh(x) = ln (x + [mm] \wurzel{x²+1} [/mm] ), was auch wiederum stetig ist.
Und, was meint ihr? Liege ist das alles nachvollziehbar oder ist das nicht eindeutig??
2. Aufgabe:
Sei (X,d) ein metrischer Raum. Für A,B [mm] \subseteq [/mm] X, x [mm] \in [/mm] X werde definiert
d(x,A) := inf{d(x,a); a [mm] \in [/mm] A},
d(A,B) := inf{d(a,b); a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}.
Beweisen Sie: Ist A abgeschlossen, B folgenkompakt und gilt A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] , so ist d(A,B) > 0. Geben Sie ein Beispiel für disjunkte abgeschlossene Mengen A,B mit d(A,B) = 0 an.
??? Da komme ich nicht richtig klar. d ist doch immer noch der Abstand, oder? Für irgendwelche Tipps würde ich mich wirklich freuen.
Thanks...
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Hi,
bei der Lösung zu Aufgabe 1 haben sich eine Ungenauigkeit und ein Tippfehler eingeschlichen:
[mm]u-\bruch{1}{u}=2x \gdw u=x \pm \wurzel{1+x^{2}}[/mm]
aber es wird "+" gewählt, weil sich dann ein positiver Ausdruck für [mm]x \in \IR[/mm] ergibt.
Die nächste Zeile sollte wohl heißen:
[mm]\Rightarrow y=ln(u) = ([/mm]nicht[mm]+)ln(x+\wurzel{1+x^2})[/mm]
Grüße,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 So 02.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Danke für die kleinen Korrekturen. Aber ich würde mich dennoch freuen, wenn sich ein paar Leser finden würden, die noch Antworten auf meine Fragen haben.. liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Di 04.01.2005 | | Autor: | moudi |
Man kann d(A,B) als eine Art Abstand von Mengen definieren. Und es gilt sicher d(A,B)=0, wenn die Mengen A und B nicht disjunkt sind.
Nun könnt man meinen, dass abgeschlossene disjunkte Mengen immer
einen positiven Abstand haben. Aber dies stimmt nicht.
Definiere die Mengen A und B als Teilmengen des [mm]\IR^2[/mm] so:
[mm]A=\{(x,y)\in\IR^2\,|\, x>0\ \&\ y=\frac1x\}[/mm]
[mm]B=\{(x,y)\in\IR^2\,|\, y=0\}[/mm]
Beide Mengen sind abgeschlossen in [mm]\IR^2[/mm], aber nicht beschränkt, und somit nicht kompakt. Und es gilt d(A,B)=0. Die Mengen kommen sich beliebig nahe. Denn der Graph der Funktion [mm]y=\frac1x[/mm] nähert sich immer mehr der x-Achse an.
Zum Beweis: Würde ich indirekt zeigen.
Nehmen an, dass A abgeschlossen, B folgenkompakt, A und B disjunkt und d(A,B)=0.
Existieren also Folgen [mm](a_i)[/mm] und [mm](b_i)[/mm] so, dass [mm]\lim_{i\to\infty}d(a_i,b_i)=0[/mm].
Nehme an, dass die Folge [mm](b_i)[/mm] gegen einen Punkt b in B konverigiert, (die Folge [mm](b_i)[/mm] besitzt konvergente Teilfolge und arbeite mit der konvergenten Teilfolge).
Dann kann man aus der Dreiecksungleichung schliessen, dass
[mm]\lim_{i\to\infty}d(a_i,b)=0[/mm], denn [mm]d(a_i,b)\leq d(a_i,b_i)+d(b_i,b)[/mm].
Dann muss aber b in A liegen, da A abgeschlossen ist und wir erhalten eine Widerspruch zur Disjunktivität von A und B.
mfG moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Di 04.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Du sagst ja, dass entweder die abgeschlossenen Mengen A und B disjunkt sind oder deren Abstand d(A,B) = 0 gilt. Wenn ich nun ein Beispiel angeben muss, dann heißt dass doch, dass es kein Beispiel gibt, wofür alle beide Eigenschaften gelten. Sehe ich das richtig?? Oder gibt es da eine Ausnahme, wo die Mengen disjunkt sein können und zueinander den Abstand 0 haben? Eher nicht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 04.01.2005 | | Autor: | moudi |
Vielleich habe ich mich ein bisschen missverständlich ausgedrückt.
Mein Beweis, hat mit dem Beispiel nichts zu tun. Um es klar zu formulieren:
i) Es gibt abgeschlossene disjunkte Mengen A, B mit d(A,B)=0.
(Das ist mein Beispiel.)
ii) Es gibt keine disjunkte Mengen A (abgeschlossen) und
B (folgenkompakt) mit d(A,B)=0.
(Das habe ich bewiesen.)
mfG Moudi
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