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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Sa 19.01.2008 | | Autor: | balisto |
Hallo,
Ich bin gerade auf ein kleines Problem gestoßen: Wir haben den Messraum (X,A). [mm] f_{1},...,f_{n} [/mm] : X [mm] \to \IR [/mm] sind A-messbare Funktionen.
Ich kann doch jetzt definieren: [mm] f:=(f_{1},...,f_{n}) [/mm] : X [mm] \to \IR [/mm] x...x [mm] \IR, [/mm] oder?
wenn ich jetzt ein [mm] A_{i} [/mm] aus [mm] \IR [/mm] nehme, dann liegt [mm] f_{i}(A_{i}) [/mm] für alle i ja in A (da A-messbar).
Ich habe gelesen, dass dann [mm] (f_{1},...,f_{n})^{-1}(A_{1} [/mm] x ... x [mm] A_{n}) [/mm] = [mm] \bigcap_{i=1}^{n} f_{i}^{-1}(A_{i}). [/mm] Allerdings, weiß ich nicht, warum das gilt. Könnte mir das evt. jemand bitte erklären?
Schon mal Danke dafür!
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> Hallo,
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> Ich bin gerade auf ein kleines Problem gestoßen: Wir haben
> den Messraum (X,A). [mm]f_{1},...,f_{n}[/mm] : X [mm]\to \IR[/mm] sind
> A-messbare Funktionen.
> Ich kann doch jetzt definieren: [mm]f:=(f_{1},...,f_{n}) : X \to \IR x...x \IR,[/mm] oder?
> wenn ich jetzt ein [mm]A_{i}[/mm] aus [mm]\IR[/mm] nehme, dann liegt
> [mm]f_{i}(A_{i})[/mm] für alle i ja in A (da A-messbar).
> Ich habe gelesen, dass dann
>[mm](f_{1},...,f_{n})^{-1}(A_{1} x ... x A_{n}) = \bigcap_{i=1}^{n} f_{i}^{-1}(A_{i})[/mm].
> Allerdings, weiß ich nicht, warum das gilt. Könnte mir das
> evt. jemand bitte erklären?
Es ist doch
[mm]\begin{array}{rcl}
x\in (f_1\times f_2\times \ldots \times f_n)^{-1}(A_1\times A_2\times\cdots \times A_n) &\Leftrightarrow& (f_1\times f_2\times\cdots \times f_n)(x)\in A_1\times A_2\times \cdots\times A_n\\
&\Leftrightarrow& f_1(x)\in A_1 \text{ und } f_2(x)\in A_2\text{ und }\ldots \text{ und } f_n(x)\in A_n\\
&\Leftrightarrow& x\in f_1^{-1}(A_1)\text{ und } x\in f_2^{-1}(A_2)\text{ und } \ldots \text{ und } x\in f_n^{-1}(A_n)\\
&\Leftrightarrow& x\in \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1}(A_i)
\end{array}[/mm]
Kurz: Diese Äquivalenz ist kein grossartiger Tiefsinn...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 So 20.01.2008 | | Autor: | balisto |
Oje, da hab ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.
Vielen Dank!
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