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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 So 25.05.2008 | | Autor: | puldi |
Hallo
wie kommt man darauf, dass die umkehrfunktion von ln(x)
ist:
exp(ln(x)) = x
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 So 25.05.2008 | | Autor: | moody |
y = ln x
davon die Umkehrfunktion ist
x = [mm] e^{y}
[/mm]
denke mal, dass sollte dein exp(ln(x)) = x bedeuten oder?
ln ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion.
[mm] log_{10} [/mm] 100 = 2
dann ist davon die Umkehrfunktion:
[mm] 10^{2} [/mm] = 100
So verhält es sich auch mit ln und e
[mm] log_{e} [/mm] 148.41 = 5
Umkehrfunktion:
[mm] e^{5} [/mm] = 148.41
Das ist jetzt mal anschaulich erklärt. Man könnte es auch rechnerisch machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 25.05.2008 | | Autor: | puldi |
kann ich als umkehrfunktion vin ln(x) auch angeben:
[mm] e^x [/mm] = y = Umkehrfunktion
Danke!
Weil ich habe es so gemacht:
y = ln(x)
x = ln(y)
[mm] e^x [/mm] = y
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so ist es mathematisch korrekt hergeleitet, wenn du hinter die erste zeile noch schreibst, für umkehrfunktion y mit x vertauscht....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 25.05.2008 | | Autor: | puldi |
Nur wie zeig ich davon ausgehend, dass
[mm] (e^x)' [/mm] = [mm] e^x
[/mm]
ist?
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> Nur wie zeig ich davon ausgehend, dass
>
> [mm](e^x)'[/mm] = [mm]e^x[/mm]
>
> ist?
Wenn dies die eigentliche Aufgabe war, so ist anzunehmen,
dass dir die Ableitung der Logarithmusfunktion, also
[mm] (ln(x))' = \bruch{1}{x}[/mm]
bekannt ist, und dass ev. auch eine Formel für die Ablei-
tung der Umkehrfunktion einer Funktion bereitsteht.
Wenn ja, dann setze mal alles Bekannte in die Formel ein.
Ein anderer Weg ginge über die Anwendung der Kettenregel
auf die Gleichung:
[mm] ln(e^x) [/mm] = x
Leite die beiden Seiten dieser Gleichung nach x ab (wobei links
die Kettenregel zum Zug kommt) !
Löse die entstehende neue Gleichung nach der gefragten
Ableitung [mm] (e^x)' [/mm] auf, und du bist am Ziel.
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 25.05.2008 | | Autor: | puldi |
danke.
warum isr:
$ [mm] ln(e^x) [/mm] $ = x = [mm] e^x
[/mm]
Wenn ich das ableite erhalte ich:
1 = 1
mmm... bitte helft mir weiter, danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 So 25.05.2008 | | Autor: | moody |
Bei der Anwendung der Kettenregel, musst du ja dann [mm] e^{x} [/mm] ableiten. Wenn man aber gerade dessen Ableitung herleiten möchte, kann man ja jetzt schlecht in der Herlietung einfach davon ausgehen, dass [mm] e^{x} [/mm] die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] ist.
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/efkt_01_04.htm
hier wird alles sehr ausführlich erklärt vielleicht hilft das. Ansonsten wäre ich aber auch an einer weiteren Ausführung von Al-Chwarizmi interessiert.
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> Bei der Anwendung der Kettenregel, musst du ja dann [mm]e^{x}[/mm]
> ableiten. Wenn man aber gerade dessen Ableitung herleiten
> möchte, kann man ja jetzt schlecht in der Herlietung
> einfach davon ausgehen, dass [mm]e^{x}[/mm] die Ableitung von [mm]e^{x}[/mm]
> ist.
>
> http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/efkt_01_04.htm
>
> hier wird alles sehr ausführlich erklärt vielleicht hilft
> das. Ansonsten wäre ich aber auch an einer weiteren
> Ausführung von Al-Chwarizmi interessiert.
Also, ausgehend von der Gleichung
[mm] ln(e^x) [/mm] = x
(dies ist ja nichts anderes als die DEFINITION von ln)
beidseitig ableiten: rechts gibt es eins, links Anwendung
der Kettenregel (äussere Ableitung * innere Ableitung)
[mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] * [mm] (e^x)' [/mm] = 1
[mm] (e^x)' [/mm] ist die Ableitung, die wir haben wollen, und jetzt kommt sie in
der Rechnung vor ! Also nur nach dieser Ableitung umstellen:
[mm] (e^x)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{e^x}} [/mm] = [mm] e^x
[/mm]
Zu dieser Methode ist zu sagen, dass man dabei die EXISTENZ
der Ableitung voraussetzt. Um dies zu gewährleisten, könnte
man hier z.B. folgendermassen argumentieren: Der Graph der
ln - Funktion ist eine glatte, in ihrem ganzen Definitionsbe-
reich ableitbare Kurve (falls die Ableitung von ln x schon
bereitstand, müsste dies jedenfalls vorher geklärt worden sein).
Die Ableitung verschwindet nirgends.
Der Graph der Exponentialfunktion entsteht aus dem von ln
durch Spiegelung an der Geraden y=x, hat also auch überall
eine eindeutig bestimmte (und nie zur y-Achse parallele)
Tangente. Damit ist die Existenz der Ableitungsfunktion
gewährleistet - übrigens kann man den Beweis für die
Formel der Ableitung der Umkehrfunktion auch sehr schön
graphisch durchführen.
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 So 25.05.2008 | | Autor: | moody |
Vielen Dank, jetzt habe ich das auch verstanden!
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