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| Aufgabe | | sei R ring und sei a [mm] \in \IR [/mm] \ {0} ein nilpotentes element. zeigen sie, dass 1-a invertierbar ist. |
moin moin an alle die noch wach sind und n bissl lust auf mathe haben, würde mich freuen wenn einer antwortet 
also...
1-a ist ja invertierbar, wenn man di eumkehrfkt. bilden kann, mit der def. komm ich hier alerdings nich weit weil ich keine fkt. sehe.
ich hab mir weiter überlegt:
[mm] a^2=0 [/mm] , [mm] a^3=0 [/mm] usw. bis [mm] a^n-1=0
[/mm]
das heißt wenn ich am ende das inverse berechne und irgendetwas in der form [mm] a^n [/mm] mit n>1 wird null.
durch zufall bin ich dann auf die idee gekommen die dritte binomische formel auf a-1 anzuwenden:
[mm] (1-a)*(1+a)=1+a^2 [/mm] , wobei [mm] a^2=0
[/mm]
somit wäre (1+a) das inverse zu 1-a
nur wie zeige ich das mathematisch?
zufall ist glaub ich kein mathematischer beweis
würde ich über hilfe freuen.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sei R ring und sei a [mm]\in \IR[/mm] \ {0} ein nilpotentes
> element. zeigen sie, dass 1-a invertierbar ist.
> moin moin an alle die noch wach sind und n bissl lust auf
> mathe haben, würde mich freuen wenn einer antwortet
> also...
> 1-a ist ja invertierbar, wenn man di eumkehrfkt. bilden
> kann, mit der def. komm ich hier alerdings nich weit weil
> ich keine fkt. sehe.
>
> ich hab mir weiter überlegt:
> [mm]a^2=0[/mm] , [mm]a^3=0[/mm] usw. bis [mm]a^n-1=0[/mm]
> das heißt wenn ich am ende das inverse berechne und
> irgendetwas in der form [mm]a^n[/mm] mit n>1 wird null.
> durch zufall bin ich dann auf die idee gekommen die dritte
> binomische formel auf a-1 anzuwenden:
> [mm](1-a)*(1+a)=1+a^2[/mm] , wobei [mm]a^2=0[/mm]
> somit wäre (1+a) das inverse zu 1-a
> nur wie zeige ich das mathematisch?
> zufall ist glaub ich kein mathematischer beweis
>
> würde ich über hilfe freuen.
die Antwort findest Du in ![[]](/images/popup.gif) diesen Artikel. Wo genau, werde ich Dir nicht sagen, da es zum einen ziemlich schnell ins Auge fällt und zum anderen sollst Du ja wenigstens noch ein klein wenig zu tun haben 
P.S.: Sollte bei Dir nicht "Ring mit Einselement" vorausgesetzt sein?
Und ein weiterer Tipp zum Beweis, wenn $n$ der kleinste Index mit [mm] $a^n=0$ [/mm] ist:
Berechne einfach mal [mm] $(1-a)(1+a+a^2+...+a^{n-1})$ [/mm] "straight forward", also:
[mm] $$(1-a)(1+a+a^2+...+a^{n-1})=(1-a)*1+(1-a)*a+(1-a)*a^2+...+(1-a)*a^{n-2}+(1-a)*a^{n-1}=...$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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