Umkehrfunktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Di 18.11.2008 | | Autor: | martin7 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass zu f(x) = [mm] x^{3}+x^{2}+x [/mm] eine Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x) [/mm] existiert |
Laut Skriptum ist
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(x)}
[/mm]
f'(x)= [mm] 3x^{2} [/mm] + 2x + 1
--> [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3x^{2} + 2x + 1}
[/mm]
Das macht aber wenig Sinn, denn wenn ich
f(2)= [mm] 2^{3}+2^{2}+2 [/mm] = 14 berechne kann ich mit meiner Umkehrfunktion sehr wenig anfangen.
Vielen dank für jegliche Tipps und Hilfestellungen! 
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Das wäre zu einfach !
Es ist zwar richtig, dass man die Umkehrfunktion von f(x) mit [mm] f^{-1}(x) [/mm] bezeichnet. Die Potenzregel mit dem Ergebnis [mm] f^{-1}(x)=\bruch{1}{f(x)} [/mm] gilt hier aber nicht !
Zur Berechnung der Umkehrfunktion muss man die Funktion zuerst in die Scheitelpunktform bringen, nach x auflösen und dann x und y vertauschen.
Für die quadratische Gleichung f(x) = [mm] ax^2+bx+c [/mm] hatte ich als Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x)= [/mm] folgende Wurzelfunktion erhalten:
[mm] f^{-1}(x)=\wurzel{\bruch{(-4ac-b^2)}{a}}+\bruch{-b}{2a}
[/mm]
wobei [mm] x_s [/mm] und [mm] y_s [/mm] (Werte des Scheitelpunktes) auch in dieser Gleichung wiederzufinden sind.
Für die Umkehrfunktion von [mm] f(x)=x^3+x^2+x [/mm] muesste man ähnlich vorgehen.
Ich hoffe, ich habe jetzt nichts Falsches gesagt ! Mal schau´n, was die anderen sagen...
mfg Schachschorsch56
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass zu f(x) = [mm]x^{3}+x^{2}+x[/mm] eine
> Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(x)[/mm] existiert
> Laut Skriptum ist
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(x)}[/mm]
>
> f'(x)= [mm]3x^{2}[/mm] + 2x + 1
>
> --> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3x^{2} + 2x + 1}[/mm]
>
> Das macht aber wenig Sinn, denn wenn ich
> f(2)= [mm]2^{3}+2^{2}+2[/mm] = 14 berechne kann ich mit meiner
> Umkehrfunktion sehr wenig anfangen.
>
>
> Vielen dank für jegliche Tipps und Hilfestellungen!
Du sollst nur zeigen , dass f umkehrbar ist (auf [mm] \IR, [/mm] nehme ich an)
Die Berechnung der Umkehrfunktion ist nicht verlangt.
Es ist f'(x) = [mm] 3x^2+2x+1. [/mm] Diese Parabel hat keine Nullstellen und ist nach oben geöffnet, also ist f'>0 auf ganz [mm] \IR. [/mm] f selbst ist damit auf [mm] \IR [/mm] streng wachsend und somit injektiv.
Weiter sieht man: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Wegen des Zwischenwertsatzes für stetige Funktionen bedeutet das: [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] \IR.
[/mm]
FAZIT f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] ist bijektiv. Damit existiert [mm] f^{-1}: \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm]
FRED
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> Zeigen Sie, dass zu f(x) = [mm]x^{3}+x^{2}+x[/mm] eine
> Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(x)[/mm] existiert
> Laut Skriptum ist
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(x)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist natürlich Unsinn !
Vielleicht meinst du die Formel für die Ableitung der
Umkehrfunktion. Die müsste aber so lauten:
$\ [mm] (f^{-1})'(y)=\bruch{1}{f'(x)}$
[/mm]
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Entschuldigung ! Ich hatte die Aufgabe mal wieder nicht richtig gelesen...
Habe mir den Graphen von f angeschaut, da gibt´s natürlich keinen Scheitelpunkt wie bei einer quadratischen Funktion...
Die richtige Lösung für die vorliegende Aufgabe müsste in der ersten Antwort zu finden sein...
Erklärung: Die war ja auch erst mein 2.Versuch, jemand anderem bei der Lösung einer Aufgabe zu helfen. Ich arbeite dran...
Schachschorsch56
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Hallo Georg,
da die gegebene Funktion f mit [mm] f(x)=x^3+x^2+x [/mm]
kubisch ist, kann man eigentlich nicht von einer
"Scheitelpunktsform" sprechen.
Man kann versuchen, die Gleichung durch eine
geeignete Substitution zu vereinfachen. Idee:
Statt x eine neue Koordinate u einführen, welche
vom Wendepunkt der Funktionskurve aus gemessen
wird: [mm] u=x+\bruch{1}{3} [/mm] bzw. [mm] x=u-\bruch{1}{3} [/mm]
Damit erhält man eine neue Funktion g mit
[mm] g(u)=u^3+\bruch{2}{3}*u-\bruch{7}{27}
[/mm]
Es gilt: [mm] g(u)=g(x+\bruch{1}{3})=f(x)
[/mm]
Doch auch mit dieser kleinen Vereinfachung wird
es nicht leicht, die Gleichung g(u)=y nach u
aufzulösen. Man kommt unweigerlich zum Thema
der kubischen Gleichungen, die sich zwar algebraisch
auflösen lassen, aber eben doch nicht so leicht wie
die quadratischen.
Ein Rezept dazu findet man z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Schönen Gruß !
Al-Chw.
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| Aufgabe | Substitution bei Kubischer Gleichung [mm] x^3+x^2+x=0
[/mm]
setze [mm] x=y-\bruch{1}{3} [/mm] dies führt zur Gleichung
[mm] y^3+\bruch{2}{3}y-\bruch{7}{27}=0 [/mm] |
Ich kenne das Lösungsverfahren kubischer Gleichungen noch nicht.
Du sagtest, dass man vom Wendepunkt der Funktion ausgehen soll.
Nun habe ich etwas gerechnet und folgendes herausbekommen:
Die Substitution der o.a. Gleichung führt zu folgender Gleichung:
[mm] y^3 [/mm] - [mm] 2x_w [/mm] + [mm] y_w [/mm] = 0, wobei [mm] x_w [/mm] und [mm] y_w [/mm] Werte des Wendepunktes sind.
Stimmt das ?
Das weitere Verfahren mit den Diskriminanten muss ich erst noch lernen.
mfg Schorsch
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> Substitution bei Kubischer Gleichung [mm]x^3+x^2+x=0[/mm]
>
> setze [mm]x=y-\bruch{1}{3}[/mm] dies führt zur Gleichung
> [mm]y^3+\bruch{2}{3}y-\bruch{7}{27}=0[/mm]
> Ich kenne das Lösungsverfahren kubischer Gleichungen noch
> nicht.
> Du sagtest, dass man vom Wendepunkt der Funktion ausgehen
> soll.
Das ist eigentlich die Idee, die hinter dem ersten
Schritt beim Verfahren von Cardano steckt.
Die vorliegende Funktion [mm] f(x)=x^3+x^2+x
[/mm]
hat die zweite Ableitung f''(x)=6x+2
f''(x)=0 führt auf [mm] x=x_w=-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x_w [/mm] ist die x-Koordinate des Wendepunktes.
Setzt man nun [mm] x=x_w+u =u-\bruch{1}{3},
[/mm]
so wird aus der ursprünglichen Gleichung
[mm] x^3+x^2+x=0 [/mm] die neue Gleichung für u:
[mm] u^3+\bruch{2}{3}*u-\bruch{7}{27}=0
[/mm]
Diese Gleichung hat den Vorteil, dass kein
quadratisches Glied (mit [mm] u^2) [/mm] mehr vorhanden
ist. Und auf eine solche Gleichung kann man dann
(nach dem angegebenen Text) die Formel von
Cardano (Diskriminante, u,v, ... ) anwenden.
Das vorliegende Beispiel hat den grossen Vorteil,
dass die Diskriminante immer positiv ist. deshalb
kommt dann auch nur der erste (und einfachste)
Fall der Cardano-Formeln zum Zug.
> Nun habe ich etwas gerechnet und folgendes
> herausbekommen:
>
> Die Substitution der o.a. Gleichung führt zu folgender
> Gleichung:
>
> [mm]y^3[/mm] - [mm]2x_W[/mm] + [mm]y_W[/mm] = 0, wobei [mm]x_W[/mm] und [mm]y_W[/mm] Werte des
> Wendepunktes sind.
> Stimmt das ?
Ich glaube nicht, aber du könntest z.B. schreiben:
[mm] f(x)=x^3+x^2+x=(x-x_W)^3+{y_W} [/mm]
EDIT: diese Gleichung stimmt so nicht - siehe folgende Mitteilungen !
LG
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| Aufgabe | Du sagst,
[mm] f(x)=x^3+x^2+x=(x-x_w)^3-y_w [/mm] |
Das kann aber eigentlich nicht sein, denn es ergibt einen zwar ähnlichen aber doch etwas anderen Graphen als die Ursprungsfunktion, geht der Graph für x=0 doch nicht durch den Ursprung.
Die allgemeine Gleichung für [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] (ausgedrückt mit den Werten des Wendepunktes) muss anders lauten...aber wie ?
Übrigens: ich hatte ein y vergessen, die substituierte Gleichung muss richtig
[mm] y^3 [/mm] - [mm] 2x_w [/mm] y - [mm] y_w [/mm] = 0 lauten
mfg Schorsch
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Du hast Recht; die Gleichung war so nicht in
Ordnung. Das Wichtige ist nur: ersetzt man
x in einer kubischen Gleichung durch die
Substitution [mm] x=x_W+u, [/mm] so wird die neue Gleichung
in u quadratfrei !
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hallo Martin,
falls du an einer konkreten Darstellung der Umkehr-
funktion noch interessiert sein solltest (obwohl in
deiner Aufgabe nur deren Existenz gezeigt werden
sollte), hier ist die Lösung:
[mm] f^{-1}(y)=\wurzel[3]{\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}+\wurzel{\left(\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}\right)^2+\bruch{8}{729}}}+\wurzel[3]{\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}-\wurzel{\left(\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}\right)^2+\bruch{8}{729}}}-\bruch{1}{3}
[/mm]
Zur Berechnung geht man besser schrittweise vor:
[mm] m=\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}
[/mm]
[mm] w=\wurzel{m^2+\bruch{8}{729}}
[/mm]
[mm] x=\wurzel[3]{m+w}+\wurzel[3]{m-w}-\bruch{1}{3}
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> hallo Martin,
>
> falls du an einer konkreten Darstellung der Umkehr-
> funktion noch interessiert sein solltest (obwohl in
> deiner Aufgabe nur deren Existenz gezeigt werden
> sollte), hier ist die Lösung:
>
>
> [mm]f^{-1}(y)=\wurzel[3]{\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}+\wurzel{\left(\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}\right)^2+\bruch{8}{729}}}+\wurzel[3]{\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}-\wurzel{\left(\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}\right)^2+\bruch{8}{729}}}[/mm]
>
Donnerwetter !
Gruß FRED
>
> Zur Berechnung geht man besser schrittweise vor:
>
> [mm]m=\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}[/mm]
>
> [mm]w=\wurzel{m^2+\bruch{8}{729}}[/mm]
>
> [mm]x=\wurzel[3]{m+w}+\wurzel[3]{m-w}[/mm]
>
>
> Gruß
>
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[mm] f(x)=x^3+x^2+x [/mm]
> [mm]f^{-1}(y)=\wurzel[3]{\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}+\wurzel{\left(\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}\right)^2+\bruch{8}{729}}}+\wurzel[3]{\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}-\wurzel{\left(\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}\right)^2+\bruch{8}{729}}}\ \red{-1/3}[/mm]
[mm] \red{-1/3} [/mm] fehlte hier vorher noch !
(diesen Schritt von der Substitutionsvariablen zurück
zu x hatte ich zuerst beim Übertragen meiner Notizen
übersehen ... Al-Chw.)
>
> Donnerwetter !
(es ging eigentlich nur um die Anwendung einer
vor 463 Jahren veröffentlichten Formel 
Die schöne Gleichung [mm] y=x^3+x^2+x [/mm] regte
mich an, die Cardano-Formeln wieder einmal aus
der Truhe zu holen. Ihre Anwendung ist bei dieser
Gleichung besonders einfach, weil nur der einfachste
Fall mit Diskriminante D>0 zum Zug kommt !)
>
> >
> > Zur Berechnung geht man besser schrittweise vor:
> >
> > [mm]m=\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}[/mm]
> >
> > [mm]w=\wurzel{m^2+\bruch{8}{729}}[/mm]
> >
> > [mm]x=\wurzel[3]{m+w}+\wurzel[3]{m-w}\ \red{-1/3}[/mm]
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Mi 19.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=x^3+x^2+x[/mm]
>
> >
> [mm]f^{-1}(y)=\wurzel[3]{\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}+\wurzel{\left(\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}\right)^2+\bruch{8}{729}}}+\wurzel[3]{\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}-\wurzel{\left(\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}\right)^2+\bruch{8}{729}}}\ \red{-1/3}[/mm]
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> [mm]\red{-1/3}[/mm] fehlte hier vorher noch !
>
> (diesen Schritt von der Substitutionsvariablen zurück
> zu x hatte ich zuerst beim Übertragen meiner Notizen
> übersehen ... Al-Chw.)
> >
> > Donnerwetter !
>
> (es ging eigentlich nur um die Anwendung einer
> vor 463 Jahren veröffentlichten Formel
Mir ist schon klar wie Du es gemacht hast. Das "Donnerwetter" bezog sich auf die Tatsache dass Du es gemacht hast.
FRED
> Die schöne Gleichung [mm]y=x^3+x^2+x[/mm] regte
> mich an, die Cardano-Formeln wieder einmal aus
> der Truhe zu holen. Ihre Anwendung ist bei dieser
> Gleichung besonders einfach, weil nur der einfachste
> Fall mit Diskriminante D>0 zum Zug kommt !)
>
> >
> > >
> > > Zur Berechnung geht man besser schrittweise vor:
> > >
> > > [mm]m=\bruch{y}{2}+\bruch{7}{54}[/mm]
> > >
> > > [mm]w=\wurzel{m^2+\bruch{8}{729}}[/mm]
> > >
> > > [mm]x=\wurzel[3]{m+w}+\wurzel[3]{m-w}\ \red{-1/3}[/mm]
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>
> Gruß Al
>
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