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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^2+4x+6 [/mm] und aus der Allgemeinform der quadratischen Funktion [mm] f(x)=ax^2+bx+c.
[/mm]
Ich hatte eine ähnliche Frage in einem Vorkurs dieses Forums beantwortet. Ansonsten hatte ich die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt. |
In dem o.a. Vorkurs hatte ich für die allgemeine Form der quadratischen Funktion folgende Umkehrfunktion berechnet:
[mm] f^{-1}(x)=\wurzel{\bruch{x-\bruch{-4ac-b^2}{4a}}{a}}+\bruch{-b}{2a}, [/mm] wobei
[mm] \bruch{-4ac-b^2}{4a} [/mm] = [mm] y_S [/mm] (=y-wert des Scheitelpunktes von f) und
[mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] = [mm] x_S [/mm] (=x-Wert des Scheitelpunktes von f) sind.
Die Umkehrfunktion wurde aus der Scheitelpunktform von f [mm] (f(x)=a(x-\bruch{-b}{2a})^2+\bruch{4ac-b^2}{4a} [/mm] oder verkürzt [mm] f(x)=a(x-x_S)^2+y_S) [/mm] mit anschließendem Tausch von x und y ermittelt.
Die o.a. Funktion f(x) ergab nach Einsetzen von a,b und c als Umkehrfunktion:
[mm] f^{-1}(x)=-4+\wurzel{4+2x}. [/mm] Da es für eine Funktion immer nur einen y-Wert geben darf, ist diese Funktion nur für x [mm] \ge [/mm] -4 definiert. Der Wertebereich ist y [mm] \ge [/mm] -2. Schreibt man dies so : D= [-4 ; [mm] \infty[ [/mm] und W=[-2 ; [mm] \infty[ [/mm] ?
Der linke Teil des Parabelgraphen von f wird mit dieser Umkehrfunktion nicht abgebildet !
Jetzt habe ich gelesen, dass dieser fehlende Teil mit folgender Umkehrfunktion abgebildet werden kann:
[mm] f^{-1}(x)=-\wurzel{\bruch{x-\bruch{-4ac-b^2}{4a}}{a}}+\bruch{-b}{2a}
[/mm]
D und W sehen dann natürlich anders aus.
Für das o.a. Beispiel lautet diese andere Umkehrfunktion:
[mm] f^{-1}(x)=-4-\wurzel{4+2x}.
[/mm]
Und zwar wurde die Umkehrfunktion gleich wie folgt berechnet:
[mm] y=\bruch{1}{2}x^2+4x+6 \gdw \bruch{1}{2}x^2+4x+6-y=0
[/mm]
(6-y) sei das Absolutglied, also gelte:
[mm] \bruch{1}{2}x^2+4x+(6-y)=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=-4\pm\wurzel(16-4*\bruch{1}{2}(6-y))=-4\pm \wurzel(4+2y)
[/mm]
x und y vertauschen: [mm] y_{1,2}=-4\pm \wurzel(4+2x)
[/mm]
Die beiden Umkehrfunktionen wurden aus zwei Teilfunktionen von f (in diesem Fall die geteilte Parabel) bestimmt.
Meine Frage lautet nun: Ist meine im o.a. Vorkurs berechnete Umkehrfunktion nur die halbe Wahrheit ?
Wie verhält es sich zum Beispiel mit einer anderen Funktion , z.B. der Form [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] ?
Wie bestimmt man hier die Umkehrfunktion/en ?
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mo 02.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x^2+4x+6[/mm] und aus der Allgemeinform der
> quadratischen Funktion [mm]f(x)=ax^2+bx+c.[/mm]
>
> Ich hatte eine ähnliche Frage in einem Vorkurs dieses
> Forums beantwortet. Ansonsten hatte ich die Frage in keinem
> anderen Internetforum gestellt.
> In dem o.a. Vorkurs hatte ich für die allgemeine Form der
> quadratischen Funktion folgende Umkehrfunktion berechnet:
>
> [mm]f^{-1}(x)=\wurzel{\bruch{x-\bruch{-4ac-b^2}{4a}}{a}}+\bruch{-b}{2a},[/mm]
> wobei
>
> [mm]\bruch{-4ac-b^2}{4a}[/mm] = [mm]y_S[/mm] (=y-wert des Scheitelpunktes von
> f) und
>
> [mm]\bruch{-b}{2a}[/mm] = [mm]x_S[/mm] (=x-Wert des Scheitelpunktes von f)
> sind.
>
> Die Umkehrfunktion wurde aus der Scheitelpunktform von f
> [mm](f(x)=a(x-\bruch{-b}{2a})^2+\bruch{4ac-b^2}{4a}[/mm] oder
> verkürzt [mm]f(x)=a(x-x_S)^2+y_S)[/mm] mit anschließendem Tausch von
> x und y ermittelt.
>
> Die o.a. Funktion f(x) ergab nach Einsetzen von a,b und c
> als Umkehrfunktion:
Das ist auch korrekt.
>
> [mm]f^{-1}(x)=-4+\wurzel{4+2x}.[/mm] Da es für eine Funktion immer
> nur einen y-Wert geben darf, ist diese Funktion nur für x
> [mm]\ge[/mm] -4 definiert. Der Wertebereich ist y [mm]\ge[/mm] -2. Schreibt
> man dies so : D= [-4 ; [mm]\infty[[/mm] und W=[-2 ; [mm]\infty[[/mm] ?
>
> Der linke Teil des Parabelgraphen von f wird mit dieser
> Umkehrfunktion nicht abgebildet !
Auch das ist korrekt.
>
> Jetzt habe ich gelesen, dass dieser fehlende Teil mit
> folgender Umkehrfunktion abgebildet werden kann:
>
> [mm]f^{-1}(x)=-\wurzel{\bruch{x-\bruch{-4ac-b^2}{4a}}{a}}+\bruch{-b}{2a}[/mm]
>
> D und W sehen dann natürlich anders aus.
>
> Für das o.a. Beispiel lautet diese andere Umkehrfunktion:
>
> [mm]f^{-1}(x)=-4-\wurzel{4+2x}.[/mm]
>
> Und zwar wurde die Umkehrfunktion gleich wie folgt
> berechnet:
>
> [mm]y=\bruch{1}{2}x^2+4x+6 \gdw \bruch{1}{2}x^2+4x+6-y=0[/mm]
>
> (6-y) sei das Absolutglied, also gelte:
>
> [mm]\bruch{1}{2}x^2+4x+(6-y)=0[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=-4\pm\wurzel(16-4*\bruch{1}{2}(6-y))=-4\pm \wurzel(4+2y)[/mm]
>
> x und y vertauschen: [mm]y_{1,2}=-4\pm \wurzel(4+2x)[/mm]
>
> Die beiden Umkehrfunktionen wurden aus zwei Teilfunktionen
> von f (in diesem Fall die geteilte Parabel) bestimmt.
>
Das ist auch "korrekt" so. Umkehrfunktionen kann man nur bilden, wenn in dem zu betrachtenden (Intervall des) Definitionsbereiches die Funktion streng monoton (steigend oder fallend ist erstmal egal) ist.
Bei Parablen der Form y=ax²+bx+c teilt der Scheitelpunkt ja die Funktion in einen streng monoton fallenden Teil und einen steigendes Teil ein.
Also kann man deine beiden Umkehrfunktionen zu einer "zusammenfassen"
[mm] f^{-1}(x)=\pm\wurzel{\bruch{x-\bruch{-4ac-b^2}{4a}}{a}}+\bruch{-b}{2a}
[/mm]
> Meine Frage lautet nun: Ist meine im o.a. Vorkurs
> berechnete Umkehrfunktion nur die halbe Wahrheit ?
>
> Wie verhält es sich zum Beispiel mit einer anderen Funktion
> , z.B. der Form [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm] ?
>
> Wie bestimmt man hier die Umkehrfunktion/en ?
So allgemein geht das hier nicht, da diese Funktion nicht so "simpel" in die monotonen Intervalle aufgeteilt werden kann. Ausserdem gibt es für quadratische Gleichunge Lösungsmöglichkeiten, z.B. die Mitternachtsformel, die p-q-Formel, oder die Quadratische Ergänzung, solche Formeln gibt es für kubische Funktionen nicht.
>
> Schorsch
Marius
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Danke für die Antwort.
OK, dass das mit den kubischen Gleichungen anders aussieht, verstehe ich schon.
Für quadratische und biquadratische Funktionen kann ich also mit Teilfunktionen arbeiten, um eine der beiden Umkehrfunktionen bilden zu können. Oder ich setze einfach das fehlende Vorzeichen vor die Wurzel, um die komplette Umkehrfunktion zu beschreiben.
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mo 02.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Danke für die Antwort.
>
> OK, dass das mit den kubischen Gleichungen anders aussieht,
> verstehe ich schon.
>
> Für quadratische und biquadratische Funktionen kann ich
> also mit Teilfunktionen arbeiten, um eine der beiden
> Umkehrfunktionen bilden zu können.
Erstmal ja, da du einen streng monoton fallenden Teil und eine streng monoton steigenden Teil hast.
> Oder ich setze einfach
> das fehlende Vorzeichen vor die Wurzel, um die komplette
> Umkehrfunktion zu beschreiben.
Die Beiden Funktionen unterscheiden sich nur an einem Vorzeichen vor der Wurzel, also kann man die Funktionen dann so "zusammenfassen".
>
> Schorsch
Marius
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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Schorsch
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