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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Fr 17.04.2009 | | Autor: | az118 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen folgender Funktionen.
a) f(x) = ln(3x + 5) + 2
b) f(x) = [mm] (e^{x}-e^{-x})/2 [/mm] |
Hallo,also ich habe es berechnet, weiß aber nicht ob es so richtig ist?
a.) y=ln(3x + 5) + 2
[mm] e^{y}=e^{ln(3x + 5)}+e^{2}
[/mm]
[mm] e^{y}=(3x [/mm] + [mm] 5)+e^{2}
[/mm]
[mm] x=(e^{y}-e^{2}-5)/3
[/mm]
[mm] y^{-1}=(e^{x}-e^{2}-5)/3
[/mm]
b.)y = [mm] 0.5*e^{x}-0.5*e^{-x}
[/mm]
lny = [mm] 0.5*lne^{x}-0.5*lne^{-x}
[/mm]
lny=0.5*x+0.5*x
lny=x
[mm] y^{-1}=lnx
[/mm]
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Hi, az118,
> Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen folgender Funktionen.
> a) f(x) = ln(3x + 5) + 2
> a.) y=ln(3x + 5) + 2
> [mm]e^{y}=e^{ln(3x + 5)}+e^{2}[/mm]
Und schon ist's falsch!
Richtig wäre
[mm]e^{y}=e^{ln(3x + 5)+2}[/mm]
Tipp: Ich würde zunächst folgendermaßen umformen
ln(3x+5) + 2 = ln(3x+5) + [mm] ln(e^{2}) [/mm] = [mm] ln((3x+5)*e^{2})
[/mm]
Kommst Du nun weiter?
Bei b) hast Du übrigens einen ganz ähnlichen Fehler gemacht!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Fr 17.04.2009 | | Autor: | az118 |
a.) [mm] e^{y}=e^{ln(3*x+5)+2}
[/mm]
[mm] e^{y}=3*x+7
[/mm]
[mm] (e^{y}-7)/3=x
[/mm]
[mm] y=(e^{x}-7)/3
[/mm]
so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Nein.
$ [mm] e^{y}=e^{ln(3\cdot{}x+5)+2} [/mm] $ = [mm] e^{ln(3\cdot{}x+5)}e^2 [/mm] = [mm] (3x+5)e^2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Fr 17.04.2009 | | Autor: | az118 |
stimmt,also:
[mm] e^{y}=(3*x+5)*e^{2}
[/mm]
[mm] x=(e^{y}-5*e^{2})/3*e^{2}
[/mm]
[mm] y=(e^{x}-5*e^{2})/3*e^{2} [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fred97 |
So stimmts
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 17.04.2009 | | Autor: | az118 |
Ok aber wo liegt der Fehler in der 2. Aufgabe (b)?
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Hallo az118,
> Ok aber wo liegt der Fehler in der 2. Aufgabe (b)?
In der falschen Anwendung der Logarithmusgesetze.
Es ist nicht [mm] $\ln(a-b)=\ln(a)-\ln(b)$
[/mm]
Du musst den [mm] $\ln$ [/mm] auf die gesamte rechte Seite anwenden.
Aber damit kommst du nicht weit 
Multipliziere am besten mal zuerst die Ausgangsgleichung mit 2, dann hast du
[mm] $2y=e^x-e^{-x}$
[/mm]
Nun alles mit [mm] $e^x$ [/mm] multiplizieren:
[mm] $\Rightarrow 2ye^x=e^{2x}-1$, [/mm] also [mm] $\left(e^{x}\right)^2-2e^xy-1=0$
[/mm]
Nun quadratische Ergänzung ...
[mm] $\Rightarrow \left(e^x-y\right)^2 [/mm] .... =0$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Fr 17.04.2009 | | Autor: | az118 |
Geht es nicht auch so :
[mm] 2*y=e^{x}-e^{-x} [/mm]
ln2+lny=x+x=2*x
x=(ln2+lny)/2
Y=(ln2+lnx)/2 ????
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Hallo nochmal,
> Geht es nicht auch so :
> [mm]2*y=e^{x}-e^{-x}[/mm]
Nein, habe ich doch oben schon geschrieben, es ist [mm] $\ln\left(e^x-e^{-x}\right)\neq \ln\left(e^{x}\right)-\ln\left(e^{-x}\right)$ [/mm] !!!
> ln2+lny=x+x=2*x
> x=(ln2+lny)/2
> Y=(ln2+lnx)/2 ????
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, schachuzipus,
> [mm]\Rightarrow 2ye^x=e^{2x}-1[/mm], also
> [mm]\left(e^{x}\right)^2-2e^xy-1=0[/mm]
So weit stimmt's noch!
> Nun quadratische Ergänzung ...
>
> [mm]\Rightarrow \left(e^x-y\right)^2 .... =0[/mm]
Naja!
Am "einfachsten" wäre es m.E.,
[mm] z=e^{x} [/mm] zu substituieren und die quadratische Gleichung
[mm] z^{2} [/mm] -2y*z - 1 = 0 nach z aufzulösen.
(Zum Vergleich:
Funktionsgleichung der gesuchten Umkehrfunktion:
y = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}).)
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Fr 17.04.2009 | | Autor: | az118 |
Ok danke, habs jetzt hingekriegt.
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