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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
eine (wohl einfache) Frage:
Es ist ja bekannt, dass eine Umkehrfunktion g zu f existiert, wenn f bijektiv ist. in diesem zusammenhang gilt dann: y=f(x) [mm] \gdw [/mm] g(y)=x
Alles schön und gut ...
Beim Beweis der folgenden (wahrscheinlich bekannten) Gleichungen stoß ich damit auf so manche Probleme. Daher möchte ich euch fragen, ob die folgenden Aussagen richtig sind, und wenn nicht WARUM?
a)
arctan x + arctan y = arctan [mm] \bruch{x+y}{1-xy} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] tan(arctan x + arctyn y) = [mm] \bruch{x+y}{1-xy} [/mm]
Diese Äquivalenz gilt, weil arctan INJEKTIV ist.
b)
arcosh x = ln(x+ [mm] \wurzel{x^2 + 1})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x = cosh(ln(x + [mm] \wurzel{x^2 + 1}))
[/mm]
Für x >= 1 sind die ln- und die Wurzelfunktion definiert. Für x>=1 ist somit arcosh INJEKTIV und daher gilt die Äquivalenz.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Pollux!
> Beim Beweis der folgenden (wahrscheinlich bekannten)
> Gleichungen stoß ich damit auf so manche Probleme. Daher
> möchte ich euch fragen, ob die folgenden Aussagen richtig
> sind, und wenn nicht WARUM?
>
> a)
> arctan x + arctan y = arctan [mm]\bruch{x+y}{1-xy}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] tan(arctan x + arctyn y) = [mm]\bruch{x+y}{1-xy}[/mm]
>
> Diese Äquivalenz gilt, weil arctan INJEKTIV ist.
Nein, das ist i.A. nicht richtig, weil der Tangens nur eingeschränkt auf das offene Intervall [mm] $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] bijektiv ist.
Aus [mm]tan(arctan(x) + arctan(y)) = \bruch{x+y}{1-xy}[/mm] kann man nur folgern:
[mm] $\arctan(x) [/mm] + [mm] \arctan(y) [/mm] = [mm] \bruch{x+y}{1-xy} [/mm] + k [mm] \cdot \pi$
[/mm]
für ein $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Ähnliches gilt für dein zweites Beispiel.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
die Richtung
arctan x + arctan y = arctan [mm] \bruch{x+y}{1-xy}
[/mm]
=> tan(arctan x + arctyn y) = [mm] \bruch{x+y}{1-xy}
[/mm]
ist aber schon richtig?! Oder?
Warum frag ich das?
Wir hatten mal einen Satz am Anfang, der sinngemäß lautete:
Sei f bijektiv, dann gilt: f(x)=y <=> [mm] f^{-1} [/mm] y = x
Ich habe gedacht, dass die Äquivalenz im Beispiel gilt, da ja arctan bijektiv ist und somit aus dem Satz folgt:
tan(arctan x + arctyn y) = [mm] \bruch{x+y}{1-xy}
[/mm]
<=> tan(z) = [mm] \bruch{x+y}{1-xy} [/mm] (WGEN SATZ)
<=> z = arctan [mm] \bruch{x+y}{1-xy} [/mm]
Rein von der Anschauung ist mir das Beispiel mit arctan klar, wenn ich den Satz anwende aber nicht!
Was muss man allgemein zeigen, damit solche Äquivalenzen (d.h. der Form f(x)=y <=> [mm] f^{-1} [/mm] y = x) gelten?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Do 21.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Pollux!
> die Richtung
>
> arctan x + arctan y = arctan [mm]\bruch{x+y}{1-xy}[/mm]
> => tan(arctan x + arctyn y) = [mm]\bruch{x+y}{1-xy}[/mm]
>
> ist aber schon richtig?! Oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Warum frag ich das?
>
> Wir hatten mal einen Satz am Anfang, der sinngemäß
> lautete:
> Sei f bijektiv, dann gilt: f(x)=y <=> [mm]f^{-1}[/mm] y = x
Das ist richtig.
> Ich habe gedacht, dass die Äquivalenz im Beispiel gilt, da
> ja arctan bijektiv ist und somit aus dem Satz folgt:
Aber nur die Funktion [mm] $\arctan:\IR \to \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] ist bijektiv. Daher gilt der Satz nur für $y [mm] \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$.
[/mm]
Du musst immer den Urbild- und Bildbereich mitbeachten.
Viele Grüße
Julius
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