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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Di 08.06.2010 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | [mm] f(n)=\begin{cases} 4x, & \mbox{für } 0\le x \le 1 \\ 2x+4, & \mbox{für } x >1 \end{cases}
[/mm]
Geben sie die Umkehrfunktionen von f(x) an
Wie lautet der Werte und Definitionsbereich |
Stimmt der folgende Werte und Definitionsbereich?
Der Definitionsbereich ist [0,1] und [mm] ]1,\infty[
[/mm]
Wertebereich [mm] [0,\bruch{1}{4}] [/mm] und ]-1,5 [mm] ,\infty[
[/mm]
Aber wie gebe ich ihn richtig matematisch an?
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> Stimmt der folgende Werte und Definitionsbereich?
>
> Der Definitionsbereich ist [0,1] und [mm]]1,\infty[[/mm]
Wenn du den von f meinst, dann stimmts.
>
> Wertebereich [mm][0,\bruch{1}{4}][/mm] und ]-1,5 [mm],\infty[[/mm]
> Aber wie gebe ich ihn richtig matematisch an?
Nein, überleg nochmal neu.
Wie kommst du auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ? und wie auf die $-1,5$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 08.06.2010 | | Autor: | jooo |
Ich hatte den Definitionsbereich in die Umkehrfunktion eingesetzt, dann muß die lösung wohl doch [0,4] und [mm] ]6,\infty[ [/mm] sein,aber wie drücke ich das in mathematischer Weise aus?
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Ok, halten wir fest:
$D(f) = [mm] [0,\infty[$
[/mm]
$W(f) = [0,4] [mm] \cup ]6,\infty[$
[/mm]
Da $f: D(f) [mm] \to [/mm] W(f)$ gilt also $f: [mm] [0,\infty[ \to [/mm] [0,4] [mm] \cup ]6,\infty[$
[/mm]
Von wo nach wo muss nun die Umkehrfunktion abbilden?
Wieso gibt es überhaupt eine Umkehrfunktion?
Wie sieht die Umkehrfunktion dann aus?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 08.06.2010 | | Autor: | jooo |
Umkehrfunktion:
y=(1/4)x
und
y=(x-4)/2
Du hast geschrieben $ D(f) = [mm] [0,\infty[ [/mm] $
Kann ich nicht auch sagen das es Zwei Definitionsbereiche gibt
$ D(f) = [0,1] $
$ D(f) = [mm] ]1,\infty[ [/mm] $
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> Umkehrfunktion:
> y=(1/4)x
> und
> y=(x-4)/2
Jein. Du meinst wahrscheinlich das richtige, aber es gibt nur EINE Umkehrfunktion und nicht zwei. Wann wendest du welche Vorschrift an?
> Du hast geschrieben [mm]D(f) = [0,\infty[[/mm]
>
> Kann ich nicht auch sagen das es Zwei Definitionsbereiche
> gibt
> [mm]D(f) = [0,1][/mm]
> [mm]D(f) = ]1,\infty[[/mm]
Nein. Es gibt immer EINEN Definitonsbereich. Was du aber machen kannst, ist den Definitionsbereich zu zerlegen, nämlich in die obigen Bereiche, d.h.
$D(f) = [0,1] [mm] \cup ]1,\infty[$
[/mm]
Du hast noch immer nicht begründet, warum es überhaupt eine Umkehrfunktion gibt.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 08.06.2010 | | Autor: | jooo |
Es gibt eine umkehrfunktion
Weil sie stückweise stetig ist!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Di 08.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jooo!
> Es gibt eine umkehrfunktion
> Weil sie stückweise stetig ist!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Auch die Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^2$ [/mm] für [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist überall stetig , hat aber keine Umkehrfunktion.
Du solltest mal eher in Richtung "bijektiv" denken.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 08.06.2010 | | Autor: | jooo |
Es gibt eine Umkehrfunktion weil es zu jedem y wert nur ein x wert gibt
wie man das mathematisch ausdrückt hab ich keine ahnung!
Gruß jooo
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> Es gibt eine Umkehrfunktion weil es zu jedem y wert nur ein
> x wert gibt
Korrekt, weil f injektiv ist!
Nebenbei ist f injektiv, da f streng monoton wachsend ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 08.06.2010 | | Autor: | jooo |
D(f) = [0,1]
dann y=(1/4)x
$ D(f) = [mm] ]1,\infty[ [/mm] $
dann y=(x-4)/2
Aber ich weiß nie wie ich das mathematisch richtig ausdrücke!
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Ja, ausserdem ist zu beachten, dass die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] vom Wertebereich abbildet, d.h.
[mm] $f^{-1}: [/mm] W(f) [mm] \to [/mm] D(f)$
in der von dir beschriebenen Weise, d.h.:
> D(f) = [0,1]
[mm] \Rightarrow [/mm] $W(f) = [0,4]$
> dann y=(1/4)x
d.h. hier: $y: [0,4] [mm] \to [/mm] [0,1]$
> [mm]D(f) = ]1,\infty[[/mm]
d.h. $W(f) = [mm] ]6,\inft[$
[/mm]
> dann y=(x-4)/2
d.h. $y: [mm] ]6,\infty[ \to ]1,\infty[$
[/mm]
Zusammengefasst:
$y(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{4}x & x \in [0,4] \\ \bruch{x}{2} - 2 & x\in ]6,\infty[ \end{cases}$
[/mm]
bzw. wenn man es nicht mit intervallen sondern wie vorher auch mit Relationszeichen schreiben will:
$y(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{4}x & 0\le x\le 4 \\ \bruch{x}{2} - 2 & x > 6 \end{cases}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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