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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Sa 19.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
| Aufgabe | | Ermittle die Umkehrfunktion von f(x)=ln(4+x)-ln(4-x) rechnerisch! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe keine Probleme, die Umkehrfunktion graphisch zu ermitteln und
eigentlich auch nicht generell bei Umkehrfunktionen.
Aber meine Rechnung stimmt nicht mit der graphischen Umkehrfunktion überein.
Wie sieht der Rechenweg aus bzw. wo liegt mein Fehler?
y=ln(4+x)-ln(4-x)
[mm] e^y= [/mm] 4+x-(4-x)
[mm] e^y=2x
[/mm]
[mm] (e^y):2=x
[/mm]
[mm] y=(e^x):2
[/mm]
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moin,
> Ermittle die Umkehrfunktion von f(x)=ln(4+x)-ln(4-x)
> rechnerisch!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe keine Probleme, die Umkehrfunktion graphisch zu
> ermitteln und
> eigentlich auch nicht generell bei Umkehrfunktionen.
> Aber meine Rechnung stimmt nicht mit der graphischen
> Umkehrfunktion überein.
> Wie sieht der Rechenweg aus bzw. wo liegt mein Fehler?
> y=ln(4+x)-ln(4-x)
> [mm]e^y=[/mm] 4+x-(4-x)
Diese Zeile hier ist falsch.
Du hast hier zwei ln stehen und lässt einfach beide weg; das geht aber nicht so ohne weiteres.
Überlege dir mal, welcher ln da jetzt auf welche Form genau wegfällt und welcher nicht.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 19.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Vielen Dank für den Einwand.
Ich habe ln(a)-ln(b) in einer Gleichung
und ich darf nicht |als Potenz von e ?
Ich dachte, wenn ich beide Seiten als
Potenz von e schreibe, löschen sich ln und e aus
und ich erhalte in meinem konkreten Fall
[mm] e^y=4+x-(4-x)
[/mm]
Bitte erkläre mir genau, warum ich dies hier nicht machen darf!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 19.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank für den Einwand.
> Ich habe ln(a)-ln(b) in einer Gleichung
> und ich darf nicht |als Potenz von e ?
> Ich dachte, wenn ich beide Seiten als
> Potenz von e schreibe, löschen sich ln und e aus
> und ich erhalte in meinem konkreten Fall
> [mm]e^y=4+x-(4-x)[/mm]
> Bitte erkläre mir genau, warum ich dies hier nicht machen
> darf!
Du hast:
[mm] y=ln(4+x)-ln(4-x) [/mm]
Wenn du jetzt auf beiden Seiten die e-Funktion nutzt, ergibt sich:
[mm]e^{y}=e^{\left(ln(4+x)-ln(4-x)\right)}[/mm]
Aber:
[mm] e^{\left(ln(4+x)-ln(4-x)\right)}\ne e^{\left(ln(4+x)\right)}-e^{\left(ln(4-x)\right)}[/mm]
Eleganter ist, erst die  Logarithmusgesetze zu nutzen:
$ y=ln(4+x)-ln(4-x) $
$ [mm] \Leftrightarrow y=ln\left(\frac{4+x}{4-x}\right) [/mm] $
Nun die e-Funktion:
$ [mm] \Leftrightarrow e^{y}=\frac{4+x}{4-x} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow (4-x)e^{y}=4+x [/mm] $
Den Rest schaffst du jetzt sicher wieder alleine.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Sa 19.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Danke für die Aufklärung! Das hätte mir auffallen sollen.
Trotzdem hab ich mich hier irgendwie festgefahren:
[mm] (4-x)e^y=4+x
[/mm]
[mm] (4-x)e^y-4=x
[/mm]
Was hilft mir weiter?
[mm] 4-x=(4+x):e^y [/mm] oder
[mm] -4+x=-(4+x):(e^y) [/mm] oder
1= [mm] (8e^y+4+x):(e^y(4+x)) [/mm] ???
Es wäre super, wenn du mir noch weiter helfen könntest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Sa 19.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Ich wäre sehr erfreut darüber, wenn hier jemand den Rechenweg reinstellen könnte. Anscheinend besitze ich eine gewisse Schwäche in Algebra bzw. zu wenig Kreativität, um hier eine Lösung zu finden.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hattest [mm] e^y=\bruch{4+x}{4-x} [/mm] und willst das x freistellen.
Es ist
[mm] e^y=\bruch{4+x}{4-x}=\bruch{4-x+2x}{4-x}=1+\bruch{2x}{4-x}=1+\bruch{2x}{x*(\bruch{4}{x}-1)}=1+\bruch{2}{\bruch{4}{x}-1}.
[/mm]
Das sollte helfen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 19.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Tut mir leid, aber das tut es kein bisschen. Jetzt hab ich das x im nenner in ner differenz stecken...
Danke, aber mir bringt das absolut nichts.
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> Tut mir leid, aber das tut es kein bisschen. Jetzt hab ich
> das x im nenner in ner differenz stecken...
> Danke, aber mir bringt das absolut nichts.
Hallo,
das soll Dir auch nichts bringen, sondern Du sollst etwas damit machen.
Ich find's echt etwas dürftig, daß Du mit
$ [mm] e^y=1+\bruch{2}{\bruch{4}{x}-1} [/mm] $
nun überhaupt nichts gemacht hast.
Zumindest die 1 hättest Du ja rüber bringen können, oder?
Wenn Du dann auf beiden Seiten den Kehrwert bildest, bist Du schon wieder etwas weiter...
Mach mal und zeig's dann.
LG Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Sa 19.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Meinst du
a) [mm] 1+e^y=2:((4:x)-1)
[/mm]
b) [mm] e^y=2x:(4-x) [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Bis jetzt haben wir [mm] $e^y [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {4+x} {4-x} $. Und jetzt müssen wir diese Gleichung nach $ x $ auflösen, so daß dann $x = $??? darsteht. Dies geht alles mit Schulmitteln unter Benutzung allein der vier Grundrechenarten. Fang mal an ...
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 So 20.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Lieber Wolfgang,
über genau diesen Weg, der mit "Schulmitteln"
funktioniert, zerbreche ich mir seit Freitag Nachmittag den Kopf.
Wenn ich keinen Lösungsweg vorgelegt kriege, werd ich ewig brauchen, um eine Lösung zu finden. Ich komm nicht drauf und werd es aufgeben, wenn ich weiter nur so stückchenweise "Hilfe" bekomme.
Wie schön, dass Umkehrfunktionen auch geometrisch bestimmt werden können. Wenn ich nicht weiß, wie man sie rechnerisch ermittle, verlier ich ja nicht mal 2 Punkte im Abi.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:59 So 20.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wir hatten schon (Siehe meine erste Antwiort hier in der Diskussion:
$ [mm] (4-x)e^{y}=4+x [/mm] $
Nun gilt:
$ [mm] (4-x)e^{y}=4+x [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 4e^{y}-xe^{y}=4+x [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 4e^{y}-4=x+xe^{y} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 4(e^{y}-1)=(1+e^{y})\cdot [/mm] x $
Den Rest schaffst du jetzt sicherlich wieder.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 So 20.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Also ist die Umkehrfunktion [mm] y=(4(e^x-1))/(e^x+1) [/mm] ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 So 20.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
es isr richtig, ich habe dir auf deine andere Frage geantwortet. Es reicht aus, jede Frage einmal zu stellen (zumindest hier im Forum). 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 So 20.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Das ist sie! Sehr schön! Danke Leute!
Ich bin bei [mm] (4-x)e^y=4+x
[/mm]
einfach nicht dazu gekommen, x auf eine Seite zu bringen!
Ausmultiplizieren, [mm] xe^y [/mm] rüber, dann x ausklammern!!
Vielen Dank, das liegt wohl daran, dass ich seit der 7. Klasse alles mitm Taschenrechner ausrechne und kaum Praxis in Algebra hab!
Danke für eure Hilfe, ihr seid super!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 So 20.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Wie schön, dass Umkehrfunktionen auch geometrisch bestimmt
> werden können. Wenn ich nicht weiß, wie man sie
> rechnerisch ermittle, verlier ich ja nicht mal 2 Punkte im
> Abi.
Was aber doch verschenkt ist!
Nehmen wir an, wir haben
[mm] $y=\bruch [/mm] {1+x} {1 - x} $
gegeben, und sollen nun das $\ x$ bestimmen, also "nach $\ x $ auflösen".
Hierzu vereinfachen wir die Gleichung, und multiplizieren auf beiden Seiten mit $1-x$:
$y*(1-x) = 1+x$
Jetzt versuchen wir, $ x $ auf eine Seite zu bekommen. Hierzu multiplizieren wir zunächst die Klammer aus:
$y-y*x = 1 + x$
Um $x$ auf die rechte Seite zu bringen, addieren wir auf beiden Seiten $y*x$.
$y = 1+x + y*x$
So jetzt wollen wir das $x$ alleine auf der rechten Seite stehen haben. Wir subtrahieren die 1 auf beiden Seiten:
$y-1 = x + y*x $
Damit $x$ nur einmal auf der rechten Seite auftaucht klammern wir $x$ aus:
$y-1 = x*(1+y)$
So, fast fertig: wir teilen noch durch $1+y$ auf beiden Seiten:
[mm] $\bruch [/mm] {y-1} {1+y} = x$.
Es lohnt sich, sowas zu können, nicht nur im Abi!
Gruß,
Wolfgang.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 20.05.2012 | | Autor: | MRMATHE |
Vielen Dank!
Also ist die Umkehrfunktion [mm] y=(4(e^x-1)):(e^x+1) [/mm] ??
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Hallo,
> Vielen Dank!
> Also ist die Umkehrfunktion [mm]y=(4(e^x-1)):(e^x+1)[/mm] ??
Ja, das ist richtig. Schau mal, wie man es hier mit LaTeX schreiben kann:
[mm] y=\bruch{4*(e^x-1)}{e^x+1}
[/mm]
(Durch Draufklicken kannst du den Quzelltext sehen).
Gruß, Diophant
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