Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 25.12.2012 | | Autor: | acid |
| Aufgabe | Die Funktion f : [-1, 1] [mm] \to \IR [/mm] ist gegeben durch
[mm] f(n)=\begin{cases} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}, & \mbox{für } 0 < |x| \leq 1 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f eine Umkehrfunktion besitzt. Berechnen Sie [mm] f^{-1}. [/mm] |
Hallo!
Ich komme mit dem Aufgabenteil nicht wirklich weiter, vorher wurde gezeigt, dass f stetig ist und dass der Wertebereich [-1, 1] ist (falls man das irgendwie gebrauchen kann).
Meine Idee war, einfach zu zeigen, dass f bijektiv ist, dann müsste sie ja eine Umkehrfunktion haben.
Surjektiv: Zu jedem y muss mind. ein x mit y = f(x) existieren. Also:
y = f(x)
xy = 1 - [mm] \sqrt{1-x^2}
[/mm]
1 - xy = [mm] \sqrt{1-x^2}
[/mm]
1-2xy + [mm] (xy)^2 [/mm] = [mm] 1-x^2
[/mm]
-2y + [mm] xy^2 [/mm] = -x
2y = [mm] xy^2 [/mm] + x
x = [mm] \frac{2y}{1+y^2}
[/mm]
Das war meine Idee, die Surjektivität nachzuweisen, für jedes y aus dem WB erhält man ja ein x aus dem DB. Nur irgendwie habe ich damit schon die Umkehrfunktion bestimmt. Darf man das überhaupt so aufschreiben?
Bei der Injektivität bin ich ein bisschen ratlos:
[mm] x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).
[/mm]
Ich wollte von [mm] x_1 \neq x_2 [/mm] ausgehen und die Gleichung zuerst quadrieren, beide Seten von 1 subtrahieren, durch Wurzel ziehen (usw.) um dann auf [mm] f(x_1) \neq f(x_2) [/mm] zu kommen. Nur schon das Quadrieren wäre ja keine Äquivalenzumformung mehr (für x < 0). Wie kann man das zeigen?
Viele Grüße
adid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 25.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Die Funktion f : [-1, 1] [mm]\to \IR[/mm] ist gegeben durch
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}, & \mbox{für } 0 < |x| \leq 1 \\
0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f eine Umkehrfunktion besitzt. Berechnen
> Sie [mm]f^{-1}.[/mm]
> Hallo!
>
> Ich komme mit dem Aufgabenteil nicht wirklich weiter,
> vorher wurde gezeigt, dass f stetig ist und dass der
> Wertebereich [-1, 1] ist (falls man das irgendwie
> gebrauchen kann).
>
> Meine Idee war, einfach zu zeigen, dass f bijektiv ist,
> dann müsste sie ja eine Umkehrfunktion haben.
Das ist eine durchaus geeignete Möglichkeit.
>
> Surjektiv: Zu jedem y muss mind. ein x mit y = f(x)
> existieren. Also:
>
> y = f(x)
> xy = 1 - [mm]\sqrt{1-x^2}[/mm]
> 1 - xy = [mm]\sqrt{1-x^2}[/mm]
> 1-2xy + [mm](xy)^2[/mm] = [mm]1-x^2[/mm]
> -2y + [mm]xy^2[/mm] = -x
> 2y = [mm]xy^2[/mm] + x
> x = [mm]\frac{2y}{1+y^2}[/mm]
>
> Das war meine Idee, die Surjektivität nachzuweisen, für
> jedes y aus dem WB erhält man ja ein x aus dem DB. Nur
> irgendwie habe ich damit schon die Umkehrfunktion bestimmt.
> Darf man das überhaupt so aufschreiben?
Das kannst du so tun, beachte aber, dass das Quadrieren keine Äquivalenzufmormung ist.
>
> Bei der Injektivität bin ich ein bisschen ratlos:
>
> [mm]x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).[/mm]
>
> Ich wollte von [mm]x_1 \neq x_2[/mm] ausgehen und die Gleichung
> zuerst quadrieren, beide Seten von 1 subtrahieren, durch
> Wurzel ziehen (usw.) um dann auf [mm]f(x_1) \neq f(x_2)[/mm] zu
> kommen. Nur schon das Quadrieren wäre ja keine
> Äquivalenzumformung mehr (für x < 0). Wie kann man das
> zeigen?
Das Verfahren ist durchaus geeignet, du musst nur beachten, dass du mir dem Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Daher musst du unbedingt die Probe machen, ob die Lösung korrekt ist.
>
> Viele Grüße
> adid
Vielleichgt ist es hier elgeganter, die Monotonie von f(x), hier ist f(x) streng monoton steigend. Damit hast du dann die Injektivität der Funktion ebenfalls gezeigt.
Dein Ansatz zur Bestimmung der Umkehrfunktion ist aber ok, aber auch hier musst du nachher die Probe machen, da zu zwischendurch quadrierst. Zeige als noch, dass [mm] f^{-1}(f(x))=x.
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Di 25.12.2012 | | Autor: | acid |
Okay, vielen Dank! Das mit der Probe hilft mir schon mal weiter. Muss man die Probe auch machen, wenn man die Wurzel aus einer Zahl gezogen hat, die nur positiv sein kann? Zum Beispiel komme ich von [mm] \sqrt{x} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [1, 10] ja durch Quadrieren nochmal auf das gleiche x... Oder nicht?
Das mit der Monotonie schaue ich mir dann auch mal an.
Viele Grüße
acid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 25.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Okay, vielen Dank! Das mit der Probe hilft mir schon mal
> weiter. Muss man die Probe auch machen, wenn man die Wurzel
> aus einer Zahl gezogen hat, die nur positiv sein kann? Zum
> Beispiel komme ich von [mm]\sqrt{x}[/mm] für x [mm]\in[/mm] [1, 10] ja durch
> Quadrieren nochmal auf das gleiche x... Oder nicht?
Im "Normalfall" gilt:
[mm] \sqrt{x^{2}}=|x| [/mm] also z.B. [mm] \sqrt{9}=\pm3, [/mm] denn [mm] 3^{2}=9 [/mm] aber auch [mm] (-3)^{2}=9.
[/mm]
Und um das Problem des "verschwindenden Vorzeichens" zu umgehen, solltest du die Probe machen, denn durch das Quadrieren können Lösungen dazugemogenl werden, die keine Lösungen der Ausgangsgleichung sind.
Beispiel:
[mm] \sqrt{x-2}=x+2
[/mm]
Quadrieren:
[mm] x-2=x^{2}+4x+4
[/mm]
Sortieren
[mm] x^2+3x+2=0
[/mm]
Mit der Lösungsformel ergeben sich [mm] x_{1}=-1 [/mm] und [mm] x_{2}=-2.
[/mm]
Beide Lösungen liegen aber außerhalb des Definitionsbereiches der Ausgangfunktion, sie sind also durch das Quadrieren dazugemogelt worden.
>
> Das mit der Monotonie schaue ich mir dann auch mal an.
>
> Viele Grüße
> acid
Marius
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