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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mi 09.03.2005 | | Autor: | kaddl |
Hallo!
Ich habe einige Probleme mit dieser Funktion:
f(x) = [mm] \wurzel{e^x-a}*e^{-x}
[/mm]
Ich soll die Umkehrfunktion (für a<0) und die Stammfunktion bilden. Habe schon alle möglichen Methoden ausprobiert, aber komme irgendwie in beiden Fällen zu keinem Ergenis...
Kann mir jemand helfen?
Wär super!
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Hi, kaddl,
fang ich halt mal mit dem Integral an!
Substitution [mm] z=e^{x}-a [/mm] => [mm] \bruch{dz}{dx}=e^{x} [/mm] oder: dx = [mm] \bruch{dz}{e^{x}} [/mm] = [mm] e^{-x}dx.
[/mm]
Heißt: Du musst das Integral [mm] \integral{\wurzel{z}dz} [/mm] berechnen und rücksubstitieren!
Nun zum etwas schwierigeren Teil: Umkehrfunktion.
Erst mal: Definitions- und Wertemenge:
[mm] e^{x}-a\ge [/mm] 0 <=> [mm] e^{x} \ge [/mm] a
Fall 1: [mm] a\le0: [/mm] trivial, daher D=R.
Fall 2: a > 0: x [mm] \ge [/mm] ln(a), daher: D=[ln(a) ; [mm] \infty[
[/mm]
Wertemenge im 1.Fall: [mm] W=R^{+},
[/mm]
im 2.Fall: W= [mm] R^{+} \cup [/mm] {0}
Dann: Gibt es überhaupt eine Umkehrfunktion?
Dazu sollte die Funktion echt monoton sein.
Die Ableitung zeigt (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
Für a [mm] \le [/mm] 0 ist die Funktion echt monoton fallend,
für a > 0 gibt es einen Extrempunkt bei x=ln(2a).
In diesem Fall müsste man also zwei Terme für Umkehrfunktionen berücksichtigen!
Ich will die Sache nicht bis zum geht nicht mehr treiben, daher hier nur mein Lösungsansatz und erste Lösungsschritte:
x und y vertauschen ergibt zunächst:
x = [mm] \wurzel{e^{y}-a}*e^{-y}
[/mm]
Daraus: [mm] x*e^{y} [/mm] = [mm] \wurzel{e^{y}-a}
[/mm]
Quadrieren:
[mm] x^{2}*e^{2y} [/mm] = [mm] e^{y}-a
[/mm]
Alles auf eine Seite: [mm] x^{2}*e^{2y} [/mm] - [mm] e^{y} [/mm] + a = 0
Mit Substitution [mm] z=e^{y} [/mm] erhält man eine quadratische Gleichung in z:
[mm] x^{2}*z^{2} [/mm] - z + a = 0
(dabei werden sowohl a als auch [mm] x^{2} [/mm] kurzzeitig als konstant betrachtet).
Mit Hilfe der Lösungsformel der quadratischen Gleichung erhält man 2 Lösungen für z, von denen mit Hilfe der oben bestimmten Definitions- und Wertemengen die jeweils richtige bestimmt werden kann. Auflösen nach y mit y=ln(z) ergibt den Funktionsterm der Umkehrfunktion.
Viel Glück!
mfG!
Zwerglein
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