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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Mo 09.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hi zusammen.
Gegeben:
V [mm] \overrightarrow{ F } [/mm] W ist lineare Abbildung
W' [mm] \subseteq [/mm] und UnterVektorRaum, kurz UVR
W' [mm] \in [/mm] W [mm] \overrightarrow{ F^{-1} } F^{-1}(W')
[/mm]
Meine Folgerungen:
Da F lineare Abbildung ist auch [mm] F^{-1} [/mm] lineare Abbildung. Oder ?
Da [mm] F^{-1} [/mm] Umkehrabildung ist F und [mm] F^{-1} [/mm] bijektiv. Oder ?
Da W' UVR [mm] \Rightarrow [/mm]
( [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] W' :
die Addition ist abgeschlossen
und die skalare Multiplikation ist abgeschlossen.
Also a + b [mm] \in [/mm] W' und r a [mm] \in [/mm] W' [mm] \forall [/mm] r [mm] \in \IR
[/mm]
)
[mm] F^{-1} [/mm] ist lin. Abbildung [mm] \Rightarrow [/mm]
( [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] W' :
[mm] F^{-1}(a) [/mm] + [mm] F^{-1}(b) [/mm] = [mm] F^{-1}(a+b) \in F^{-1}(W'),
[/mm]
da ja a+b [mm] \in [/mm] W'
und
[mm] \lamda F^{-1}(a) \in F^{-1}(W'),
[/mm]
da ja r a [mm] \in [/mm] W' [mm] \forall [/mm] r [mm] \in \IR
[/mm]
)
Habe ich damit schon gezeigt, dass [mm] F^{-1}(W') [/mm] auch ein Vektorraum ist bzw. hierbei Untervekrorraum ?
Nun vielleicht sollte ich noch sagen, dass [mm] F^{-1}(F(V)) [/mm] = V und daraus folgt, dass [mm] F^{-1}(W') \subseteq [/mm] V ?
Ich weiss nicht ob dass so stimmt? Oder ob man es einfacher machen kann, oder ob ich einfach zu schnell gesprungen bin und vielleicht noch mehr beweisen müsste.
Jedenfalls Danke ! :)
Übrigens bei mir funktioniert der Quellcode für Lamda nicht.
Bei Euch auch so?
Gruß Sebasitan
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Hallo!
> Hi zusammen.
> Gegeben:
> V [mm]\overrightarrow{ F }[/mm] W ist lineare
> Abbildung
> W' [mm]\subseteq[/mm] und UnterVektorRaum, kurz UVR
> W' [mm]\in[/mm] W [mm]\overrightarrow{ F^{-1} } F^{-1}(W')[/mm]
Das ist ja ein ziemliches Durcheinander! Meinst du:
$F:\ V [mm] \to [/mm] W$ ist lineare Abbildung, [mm] $W'\subseteq [/mm] W$ UVR mit [mm] $F^{-1}:\ W'\to [/mm] V$.
> Meine Folgerungen:
> Da F lineare Abbildung ist auch [mm]F^{-1}[/mm] lineare Abbildung.
> Oder ?
Das ist in der Tat so, wenn ihr's in der Vorlesung aber noch nicht gemacht habt solltest du es zeigen.
> Da [mm]F^{-1}[/mm] Umkehrabildung ist F und [mm]F^{-1}[/mm] bijektiv. Oder
> ?
$F$ ist surjektiv, falls $F(V)=W$ und [mm] $F^{-1}$ [/mm] ist surjektiv, falls $W'=F(V)$! [mm] $F^{-1}$ [/mm] muss auch injektiv sein. Bei $F$ ist's noch ein bisschen kompilizierter: $F:\ [mm] F^{-1}(W')\to [/mm] W'$ muss injektiv sein. Hast du vielleicht genauere Angaben, was für ein UVR $W'$ ist? Gilt $W'=F(V)$?
> Da W' UVR [mm]\Rightarrow[/mm]
> ( [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] W' :
> die Addition ist abgeschlossen
> und die skalare Multiplikation ist abgeschlossen.
> Also a + b [mm]\in[/mm] W' und r a [mm]\in[/mm] W' [mm]\forall[/mm] r [mm]\in \IR[/mm]
> )
>
> [mm]F^{-1}[/mm] ist lin. Abbildung [mm]\Rightarrow[/mm]
> ( [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] W' :
> [mm]F^{-1}(a)[/mm] + [mm]F^{-1}(b)[/mm] = [mm]F^{-1}(a+b) \in F^{-1}(W'),[/mm]
>
> da ja a+b [mm]\in[/mm] W'
> und
> [mm]\lamda F^{-1}(a) \in F^{-1}(W'),[/mm]
> da ja r a [mm]\in[/mm] W'
> [mm]\forall[/mm] r [mm]\in \IR[/mm]
> )
> Habe ich damit schon gezeigt, dass [mm]F^{-1}(W')[/mm] auch ein
> Vektorraum ist bzw. hierbei Untervekrorraum ?
Du solltest es vielleicht noch ein bisschen sorgfältiger aufschreiben: Für jedes [mm] $x\in F^{-1}(W')$ [/mm] gibt es ein [mm] $a\in [/mm] W'$ mit [mm] $x=F^{-1}(W')$ [/mm] usw...
> Nun vielleicht sollte ich noch sagen, dass [mm]F^{-1}(F(V))[/mm] = V
> und daraus folgt, dass [mm]F^{-1}(W') \subseteq[/mm] V ?
Das hängt wieder davon ab, ob $W'=F(V)$...
> Übrigens bei mir funktioniert der Quellcode für Lamda
> nicht.
> Bei Euch auch so?
Der Fehler liegt wohl da, dass dieser Buchstabe "Lambda" geschrieben wird: [mm] $\lambda$.
[/mm]
Hoffe, ich konnte dir weiterhelfen!
Gruß, banachella
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