Umkehrfunktion berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 25.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Für f: [mm] X\to [/mm] Y und [mm] M\subset [/mm] Y sei definiert: [mm] f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \}, [/mm] die Menge der Urbilder zu M. Berechnen Sie:
f^-1({1}) für [mm] f(x)=\bruch{4}{8-x}+\bruch{4}{2-x} [/mm] |
Hallo,
Hier muss man ja im Prinzip nichts anderes machen, als die Umkehrfunktion von f(x) zu berechnen und in der berechneten Umkehrfunktion dann den Wert "1" einsetzen, oder?
Mein Problem tritt beim berechnen der Umkehrfunktion auf. Ich kriege die Gleichung nicht nach x aufgelöst...
[mm] f(x)=\bruch{4}{8-x}+\bruch{4}{2-x}
[/mm]
[mm] y=\bruch{4}{8-x}+\bruch{4}{2-x} [/mm]
[mm] y=\bruch{8-4x+32-4x}{(8-x)*(2-x)}
[/mm]
[mm] y=\bruch{40-8x}{16-8x-2x+x^2}
[/mm]
[mm] 16y-8yx-2yx+yx^2=40-8x [/mm] | -40 +8yx +2yx [mm] -yx^2
[/mm]
[mm] -40=8yx+2yx-yx^2
[/mm]
-40=yx*(8+2-x)
Hier komme ich nicht weiter...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 So 25.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für f: [mm]X\to Y[/mm] und [mm]M\subset Y[/mm] sei definiert: [mm]f^-1(M):=\{x\in M | f(x) \in M \},[/mm]
eher sollte da stehen:
[mm] $$f^{-1}(M):=\{x\in \red{X} | f(x) \in M \}\,.$$
[/mm]
> die Menge der Urbilder zu M. Berechnen Sie:
>
> f^-1({1}) für [mm]f(x)=\bruch{4}{8-x}+\bruch{4}{2-x}[/mm]
> Hallo,
>
> Hier muss man ja im Prinzip nichts anderes machen, als die
> Umkehrfunktion von f(x) zu berechnen und in der berechneten
> Umkehrfunktion dann den Wert "1" einsetzen, oder?
Nein, das kannst Du so nicht sagen. Denn die Funktion ist nicht injektiv (insbesondere auch nicht bijektiv).
> Mein Problem tritt beim berechnen der Umkehrfunktion auf.
Es gibt keine Umkehrfunktion. Du kannst höchstens den Definitionsbereich disjunkt zerlegen und dann die auf die entsprechende Bereiche eingeschränkten Funktionen betrachten, die dann mindestens injektiv sein sollten!
> Ich kriege die Gleichung nicht nach x aufgelöst...
Deine Rechnung macht natürlich dennoch Sinn. Es gilt nämlich $x [mm] \in f^{-1}(\{1\}) \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ mit }f(x)=1\,.$ [/mm] (Allgemeiner $x [mm] \in f^{-1}(\{y\}) \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ mit }f(x)=y\,.$) [/mm] Im folgenden schreibst Du nun anstelle von [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] halt [mm] $\red{1}\,.$ [/mm] (Nicht zu vergessen ist auch, dass $2,8 [mm] \notin [/mm] X$ gelten sollte, damit [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $X\,$ [/mm] überhaupt "sinnvoll" definiert ist.) Außerdem sollten die Gleichungen nicht als sinnlose Ansammlung von Information aufgeführt, sondern sinnvoll in Bezug zueinander gestellt werden, etwa durch Verwendung von [mm] $\Rightarrow-,\,$ $\Leftarrow$- [/mm] oder [mm] $\gdw$-Zeichen, [/mm] wenn angebracht.
> [mm]\red{1}=f(x)=\bruch{4}{8-x}+\bruch{4}{2-x}[/mm]
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
> [mm]\red{1}=y=\bruch{4}{8-x}+\bruch{4}{2-x}[/mm]
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
> [mm]\red{1}=y=\bruch{8-4x+32-4x}{(8-x)*(2-x)}[/mm]
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
> [mm]\red{1}=y=\bruch{40-8x}{16-8x-2x+x^2}[/mm]
Letztstehende Gleichung kannst Du nun wie folgt umformen:
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
[mm] $$16y-10xy+yx^2=40-8x\,.$$
[/mm]
Am einfachsten wäre es nun, direkt [mm] $y=\red{1}$ [/mm] einzusetzen und die entsprechende quadratische Gleichung in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] dann etwa mit der p,q-Formel zu lösen. Bleiben wir mal "ein wenig allgemeiner":
Dann gibt es zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $y=0\,$
[/mm]
2. Fall: $y [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Den ersten Fall kannst Du selbst mal untersuchen - er ist aber auch für die Aufgabe nicht von Relevanz, da Du dort eh $y=1 [mm] \not=0$ [/mm] hast. Also behandeln wir mal den Fall $y [mm] \not=0$ [/mm] weiter:
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
[mm] $$y\left(x^2+\left(\frac{8}{y}-10\right)x+16-\frac{40}{y}\right)=0\,.$$
[/mm]
Letztstehende Gleichung ist wegen $y [mm] \not=0$ [/mm] genau dann erfüllt, wenn
[mm] $$x^2+\left(\frac{8}{y}-10\right)x+16-\frac{40}{y}=0\,.$$
[/mm]
Meinetwegen löst Du diese Gleichung nun "allgemein" (im Sinne von [mm] $x=x(y)\,,$ [/mm] wobei die Existenz bzw. Anzahl der Lösungen der Gleichung in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] natürlich "vom Parameter [mm] $y\,$" [/mm] abhängen). Für [mm] $y=\red{1}$ [/mm] erhältst Du aber eh
$$x [mm] \in \left\{-4,\;6\right\}\,.$$
[/mm]
Allgemein:
$$x [mm] \in \IL:=\left\{5-\frac{4}{y}\pm\sqrt{\left(5-\frac{4}{y}\right)^2+\frac{40}{y}-16}\right\}\,.$$
[/mm]
Dabei soll die Lösungsmenge [mm] $\IL$ [/mm] als "abhängig von der Diskriminante (Term unter der Wurzel)" aufgefasst werden - insbesondere [mm] $\IL=\IL(y)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 25.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Alles klar, danke dir vielmals ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo, danke nochmal für deine ausführliche Antwort.
Ich hab jetzt nochmal draufgeschaut, aber so wirklich verstehe ich es nicht.
> Es gilt nämlich [mm]x \in f^{-1}(\{1\}) \gdw x \in X \text{ mit }f(x)=1\,.[/mm]
> (Allgemeiner [mm]x \in f^{-1}(\{y\}) \gdw x \in X \text{ mit }f(x)=y\,.[/mm])
Wenn ich das richtig sehe, dann hast du diese Schlussfolgerung aus der Definition von der Aufgabe her?
Was ich aber nicht verstehe ist, warum hier von f^-1 die Rede ist, obwohl die Funktion f ja garnicht umkehrbar ist...Das verwirrt mich komplett.
|
|
|
| |
|
> Hallo, danke nochmal für deine ausführliche Antwort.
> Ich hab jetzt nochmal draufgeschaut, aber so wirklich
> verstehe ich es nicht.
>
> > Es gilt nämlich [mm]x \in f^{-1}(\{1\}) \gdw x \in X \text{ mit }f(x)=1\,.[/mm]
> > (Allgemeiner [mm]x \in f^{-1}(\{y\}) \gdw x \in X \text{ mit }f(x)=y\,.[/mm])
>
> Wenn ich das richtig sehe, dann hast du diese
> Schlussfolgerung aus der Definition von der Aufgabe her?
> Was ich aber nicht verstehe ist, warum hier von f^-1 die
> Rede ist, obwohl die Funktion f ja garnicht umkehrbar
> ist...Das verwirrt mich komplett.
Ja, diese Schreibweise macht wohl auch anderen Mühe.
Es handelt sich aber eben auch nicht um eine eigentliche
Umkehrfunktion auf der Ebene der zugeordneten Elemente
x, y etc., sondern um eine Funktion auf der Ebene der
Teilmengen von X und Y. So ist die Definition eigentlich
problemlos.
Sinnvollerweise würde man aber die so erzeugte ![[]](/images/popup.gif) Urbild-Funktion
(die es zu jeder, auch nicht injektiven Funktion gibt)
und eine allfällig existierende Umkehrfunktion auch in der
symbolischen Schreibweise voneinander unterscheiden.
Leider hat sich dazu (noch) kein einheitlicher Standard
durchgesetzt.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hmm also ich verstehe es immer noch nicht...Trozdem Danke schonmal für deine Antwort.
Ich fasse nochmal in meinen Worten zusammen, wie ich das ganze verstehe.
"Für f: [mm] X\to [/mm] Y und [mm] M\subset [/mm] Y sei definiert: [mm] f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \}, [/mm] die Menge der Urbilder zu M."
bei der Funktion f wird X (Definitionsbereich) auf Y (Bildmenge) abgebildet. M ist eine Teilmenge von Y.
Für dies soll nun definiert sein: [mm] f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \}, [/mm] die Menge der Urbilder zu M.
Wenn wir also ein Element aus der Menge M in f^-1 einsetzen wäre das gleichbedeutend mit: für alle x [mm] \in [/mm] X gilt, [mm] f(x)\in [/mm] M
Macht Sinn, denn wenn man eine Zahl, die zur Definitionsmenge X gehört nimmt und in die Funktion f einsetzt, wäre das Ergebnis (Funktionswert) der Menge M zugehörig.
Dieses f^-1({1}) kapiere ich immer noch nicht. Wofür soll das genau stehen?
Ihr habts beide zwar schon erklärt, aber ich verstehe es noch nicht...
Könntet ihr das vielleicht etwas mehr Umgangssprachlicher erklären ;) ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jack,
> Hmm also ich verstehe es immer noch nicht...Trozdem Danke
> schonmal für deine Antwort.
> Ich fasse nochmal in meinen Worten zusammen, wie ich das
> ganze verstehe.
>
>
> "Für f: [mm]X\to[/mm] Y und [mm]M\subset[/mm] Y sei definiert:
> [mm]f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \},[/mm] die Menge der Urbilder
> zu M."
>
> bei der Funktion f wird X (Definitionsbereich) auf Y
> (Bildmenge) abgebildet. M ist eine Teilmenge von Y.
> Für dies soll nun definiert sein: [mm]f^-1(M):=\{x\in X | f(x) \in M \},[/mm]
> die Menge der Urbilder zu M.
> Wenn wir also ein Element aus der Menge M in f^-1
> einsetzen wäre das gleichbedeutend mit: für alle x [mm]\in[/mm] X
> gilt, [mm]f(x)\in[/mm] M
> Macht Sinn, denn wenn man eine Zahl, die zur
> Definitionsmenge X gehört nimmt und in die Funktion f
> einsetzt, wäre das Ergebnis (Funktionswert) der Menge M
> zugehörig.
>
> Dieses f^-1({1}) kapiere ich immer noch nicht. Wofür soll
> das genau stehen?
> Ihr habts beide zwar schon erklärt, aber ich verstehe es
> noch nicht...
erstmal vorneweg: ich verstehe Deine Problematik - denn auch die Bezeichnung [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist für die Umkehrfunktion ungünstig - man denkt gerne an etwas wie [mm] $f^{-1}=\frac{1}{f}\,,$ [/mm] was aber i.a. nicht gemeint ist.
Machen wir es hier mal so: Die Umkehrfunktion einer Funktion [mm] $f\,$ [/mm] bezeichnen wir mit [mm] $f^{inv}\,.$ [/mm] Diese hängt mit der hier stehenden Funktion [mm] $f^{-1}$ [/mm] bei injektivem (bijektiven) [mm] $f\,$ [/mm] auch in der Tat zusammen.
Aber klären wir erstmal, was nun dieses [mm] $f^{-1}$ [/mm] eigentlich ist:
Es war $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Funktion, und
[mm] $$f^{-1}(M):=\{x \in X: f(x) \in M\}$$
[/mm]
für alle $M [mm] \subseteq [/mm] Y$ definiert. Was ist denn eigentlich
[mm] $$\{M: M \subseteq Y\}\;?$$
[/mm]
Das ist doch gerade die Potenzmenge von [mm] $Y\:$
[/mm]
[mm] $$\{M: M \subseteq Y\}=\text{Pot}(Y)\,.$$
[/mm]
Was macht nun [mm] $f^{-1}$? [/mm] Sie ordnet einem Element $M [mm] \in \text{Pot}(Y)\,,$ [/mm] also einer Menge $M [mm] \subseteq Y\,,$ [/mm] eine gewisse Teilmenge von [mm] $X\,$ [/mm] zu:
Denn offenbar ist [mm] $\{x \in X: \ldots\}$ [/mm] per Definitionem eine Teilmenge von [mm] $X\,.$ [/mm] Diese Menge ist aber dann ein Element der Potenzmenge von [mm] $X\,.$
[/mm]
Also:
Ist $f: X [mm] \to Y\,,$ [/mm] so ist durch
[mm] $$f^{-1}: \text{Pot}(Y) \to \text{Pot}(X)$$
[/mm]
mit
[mm] $$f^{-1}(M):=\{x \in X: f(x) \in M\}$$
[/mm]
eine Funktion definiert, die jedem Element aus der Potenzmenge von [mm] $Y\,$ [/mm] ein Element der Potenzmenge von [mm] $X\,$ [/mm] zuordnet.
Du hast oben gefragt, was nun [mm] $f^{-1}(\{1\})$ [/mm] ist. Nimm' die Definition:
Hier ist [mm] $M=\{1\}\,,$ [/mm] also die Teilmenge von [mm] $Y\,,$ [/mm] die einzig und allein aus dem Element [mm] $1\,$ [/mm] besteht. Nun suchen wir alle $x [mm] \in [/mm] X$ derart, dass ihr Funktionswert in [mm] $M=\{1\}\,$ [/mm] liegt. Die Sammlung dieser [mm] $x\,$ [/mm] ist gerade [mm] $f^{-1}(M)=f^{-1}(\{1\})\,,$ [/mm] per Definitionem ist ja
[mm] $$f^{-1}(M)=\{x \in X: f(x) \in M\}\,.$$
[/mm]
Wie finden wir die nun? Nun ja: Einzig und allein ist $1 [mm] \in M=\{1\}\,,$ [/mm] also suchen wir alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=1\,.$ [/mm] Wenn wir die alle gefunden haben, schmeißen wir die in eine Menge und haben [mm] $f^{-1}(\{1\})$ [/mm] "berechnet".
Machen wir Beispiele:
1.)
Sei $f: [mm] \{a,b,c\} \to \{p,\ell,apfel,nuss\}$ [/mm] eine Abbildung einer dreielementigen Menge mit einer 4-elementigen Zielmenge mit
[mm] $$f(a):=f(c):=apfel\,$$
[/mm]
und
[mm] $$f(b):=p\,.$$
[/mm]
Dann ist [mm] $f^{-1}(\{nuss\})=f^{-1}(\{\ell\})=\emptyset\,,$ ($\emptyset=\{\}$ [/mm] bezeichnet die leere Menge) [mm] $f^{-1}(\{apfel\})=\{a,c\}$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(\{p\})=\{b\}\,.$
[/mm]
2.)
Sei $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$g^{-1}([0,\infty))=\IR\,,$$
[/mm]
[mm] $$g^{-1}(\{4\})=\{-2,\;2\}$$
[/mm]
[mm] $$g^{-1}(\{-9\})= \emptyset$$
[/mm]
[mm] $$g^{-1}((-\infty,\;-10] \cup \{2,\;5,\;9\})=\{-3,\;-\sqrt{5},\;-\sqrt{2},\;\sqrt{2},\;3,\;\sqrt{5}\}\,.$$
[/mm]
Ferner ist [mm] $g^{-1}([-9,9])=[0,3]\,.$
[/mm]
Beweisen wir die letzte Behauptung:
Um [mm] $g^{-1}([-9,9])$ [/mm] zu berechnen, müssen wir per Definitionem alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] finden mit
$$g(x) [mm] \in [-9,9]\,.$$
[/mm]
Wegen $g(x) [mm] \ge [/mm] 0$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] kann es keine [mm] $x\,$ [/mm] mit $g(x) [mm] \in [/mm] [-9,0)$ geben. Ferner gilt
$$g(x) [mm] \in [/mm] [0,9] [mm] \gdw x^2 \in \{y \in \IR: 0 \le y \le 9\}\gdw [/mm] x [mm] \in \{\pm \sqrt{y}: 0 \le y \le 9\} \gdw [/mm] x [mm] \in \{y \in \IR:\;-3 \le y \le 3\}\,.$$
[/mm]
Also folgt
[mm] $$g^{-1}([-9,9])=[-3,3]\,.$$
[/mm]
3.)
Betrachte
$$h: [mm] (-\infty,0] \to [0,\infty)$$
[/mm]
mit [mm] $h(x):=x^2\,.$ [/mm] Hier würde zum Beispiel ein Ausdruck der Form [mm] $h^{-1}(\{-2,-4\})$ [/mm] KEINEN SINN machen, weil [mm] $\{-2,-4\}$ [/mm] keine Teilmenge von [mm] $[0,\infty)=\{r \in \IR: r \ge 0\}$ [/mm] ist!
Weiter ist [mm] $h^{-1}([0,4])=[-2,0]$ [/mm] und etwa auch [mm] $h^{-1}(\{4\})=\{-2\}\,.$
[/mm]
Also beschreiben wir es mal ein wenig algorithmisch:
Wenn $f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist und $M [mm] \in \text{Pot}(Y)\,,$ [/mm] also $M [mm] \subseteq Y\,,$ [/mm] dann ergibt sich [mm] $f^{-1}(M)=\{x \in X: f(x) \in M\}$ [/mm] wie folgt:
1.) Nimm ein Element von [mm] $M\,,$ [/mm] etwa $m [mm] \in M\,.$ [/mm] Suche alle $x [mm] \red{\in X}$ [/mm] mit [mm] $f(x)=m\,.$ [/mm] Sammle alle diese [mm] $x\,$ [/mm] in einer Menge [mm] $U_m\,.$ [/mm] Damit sind alle $x [mm] \in [/mm] X$ mit $f(x)=m$ für dieses spezielle $m [mm] \in [/mm] M$ erstmal gefunden und in [mm] $U_m$ [/mm] "zusammengefaßt"-
2.) Mache den Schritt aus 1.) FÜR ALLE $m [mm] \in M\,.$ [/mm] Du erhältst (i.a.) eine Familie [mm] $(U_m)_{m \in M}\,.$
[/mm]
3.) Vereinige alle [mm] $U_m\,,$ [/mm] d.h. bilde
[mm] $$\bigcup_{m \in M} U_m\,.$$
[/mm]
Die letztstehende Vereinigung ist nichts anderes als [mm] $f^{-1}(M)\,.$ [/mm]
Dieses "algorithmische Vorgehen" kann man sich immer leicht an endlichen Mengen klarmachen. Die allgemeine Definition
[mm] $$f^{-1}(M)=\{x \in X: f(x) \in M\}$$
[/mm]
besagt das gleiche: Schau' Dir eine Teilmenge [mm] $M\,$ [/mm] des Zielbereichs von [mm] $f\,$ [/mm] an. Schau', welche $x [mm] \in [/mm] X$ die Eigenschaft haben, dass [mm] $f(x)\,$ [/mm] in der Menge [mm] $M\,$ [/mm] liegt. (Etwa: Berechne [mm] $f(x)\,$ [/mm] und gucke: Gilt $f(x) [mm] \in [/mm] M$ oder gilt $f(x) [mm] \notin [/mm] M$?) Sammle alle diese [mm] $x\,$ [/mm] (also jene $x [mm] \in X\,,$ [/mm] wo die Berechnung von $f(x)$ gezeigt hat, dass [mm] $f(x)\,$ [/mm] in [mm] $M\,$ [/mm] liegt) in einer gemeinsamen Menge und nenne diese [mm] $f^{-1}(M)\,.$
[/mm]
Aber vielleicht versuchst Du erstmal, die Beispiele komplett zu verstehen. Denn hier ist's wirklich so: Wenn man genug Beispiele komplett verstanden hat, versteht man auch den Sinn der Definition, und kann sie nach und nach schnell anwenden!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Marcel,
Vielen dank für deine sehr(!) ausführliche Antwort(en)!!! (Bin erst jetzt dazu gekommen, das mal in ruhe durchzuschauen, Sorry!)
Dank der Beispiele habe ich es jetzt verstanden.
Umgangssprachlich gesagt, geht es also darum, dass wir (Im Falle der Aufgabe) die Urbilder zu f(x)=1 suchen.
Jetzt verstehe ich auch, was und warum du in deiner Rechnung aus dem 1. Post so vorgegangen bist.
Deine Beispiele kann ich auch nachvollziehen.
Hab noch 2 weitere Aufgaben diesen Types.
Die nächste habe ich aber in einem neuen Thread gepostet, damit es übersichtlicher bleibt ;)
http://www.matheforum.net/read?i=853448
|
|
|
|
