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Umkehrfunktion der Exp-funktio: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Mo 26.05.2008
Autor: Ela.Martin

Ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:

Sei f: [mm] \IR \to \IR_{+} [/mm] eine bijektive Funktion mit der Eigenschaft f(x+y)=f(x)*f(y).
Zeigen Sie damit: Dann erfüllt die Umkehrfunktion g: [mm] \IR_{+} \to \IR [/mm] die Funktionalgleichung g(a*b)=g(a)+g(b).

Folgern Sie daraus:
g(1)=0,
[mm] g(a^{p})p*g(a) [/mm]

Bei f handelt es sich ja um die Exponentialfunktion und bei g um die Umkehrfunktion also die Logarithmusfunktion.

Jetzt ist mir aber nicht klar, wie man das mathematisch zeigen kann.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Umkehrfunktion der Exp-funktio: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Mo 26.05.2008
Autor: abakus


> Ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:
>  
> Sei f: [mm]\IR \to \IR_{+}[/mm] eine bijektive Funktion mit der
> Eigenschaft f(x+y)=f(x)*f(y).
>  Zeigen Sie damit: Dann erfüllt die Umkehrfunktion g:
> [mm]\IR_{+} \to \IR[/mm] die Funktionalgleichung g(a*b)=g(a)+g(b).
>  


Hallo,
setzte einfach f(x)=a und f(y)=b.
Aus f(x+y)=f(x)*f(y) wird dann
f(x+y)=a*b, und die beidseitige Anwendung der Umkehrfunktion g liefert links
g(f(x+y))=x+y und rechts g(a*b), also gilt

x+y=g(a*b)

Jetzt kannst du deine Substitution rückgängig machen:
Wenn f(x)=a gesetzt wurde, so gilt g(f(x))=x=g(a) und analog
g(f(y))=y=g(b).

Einsetzen in x+y=g(a*b) liefert die Behauptung g(a)+g(b)=g(a*b).


> Folgern Sie daraus:
>  g(1)=0,

Hier brauchst du nur a=b=1 zu setzen und bekommst g(1)+g(1)=g(1)
Viele Grüße
Abakus

>  [mm]g(a^{p})p*g(a)[/mm]
>  
> Bei f handelt es sich ja um die Exponentialfunktion und bei
> g um die Umkehrfunktion also die Logarithmusfunktion.
>  
> Jetzt ist mir aber nicht klar, wie man das mathematisch
> zeigen kann.
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.  


Bezug
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