Umkehrfunktion der Hyperbel-Fk < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Do 22.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich hänge hier vor folgender Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter, bzw. weiss nicht ganz wie vorzugehen ist:
[mm] cosh:\IR\to\IR: x\mapsto\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm]
[mm] sinh:\IR\to\IR: x\mapsto\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}
[/mm]
a) Schränken Sie die Funktion cosh im Definitionsbereich so auf ein geeignetes Intervall ein, dass die Umkehrfunktion Areakosinus Hyperbolicus arcosh existiert und skizzieren Sie diese.
b) Berechnen Sie [mm] \bruch{d}{dx} arcosh(x)|_{x=x0} [/mm] mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion.
wie ist bei diesen beiden Teilaufgaben vorzugehen?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Do 22.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Sieh mal ![[]](/images/popup.gif) hier, da sollte die Einschränkung für [mm] $\cosh(x)$ [/mm] schnell klar sein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Do 22.05.2008 | | Autor: | Surfer |
also der Definitionsbereich von cosh: ist ja [mm] -\infty [/mm] < x < [mm] +\infty
[/mm]
und der Wertebereich: 1 [mm] \le [/mm] f(x) < [mm] +\infty
[/mm]
und beim arcosh wäre der Definitionsbereich: 1 [mm] \le [/mm] x < [mm] +\infty
[/mm]
und der Wertebereich: 0 [mm] \le [/mm] f(x) < + [mm] \infty
[/mm]
d.h, ich schränke den cosh auf den Definitionsbereich und Wertebereich von arcosh ein oder wie?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 22.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Umkehrfunktionen existieren nur zu bijektiven Funktionen. Mal dir den cosh hin und schau wir du ihn einschränken kannst, damit er bijektiv wird.
Malen tut man Umkehrfunktionen indem man die umzukehrende Funktion an der Diagonalen spiegelt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:02 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
naja der cosh wird doch bijektiv, wenn man den Wertebereich einschränkt auf 0 [mm] \le [/mm] f(x) < [mm] +\infty [/mm] oder?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> naja der cosh wird doch bijektiv, wenn man den Wertebereich
> einschränkt auf 0 [mm]\le[/mm] f(x) < [mm]+\infty[/mm] oder? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Schränke den Definitionsbereich ein auf [mm] $I=[0,\infty)$
[/mm]
Dann ist [mm] $\cosh(x)$ [/mm] bijektiv auf $I$
Mal's dir mal auf ...
>
> lg Surfer
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ah ok, d.h. nur die rechte Seite vom cosh und dann muss ich ja noch den arcosh zeichnen und der würde dann so aussehen: Link
oder?
lg Surfer
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Richtig 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Do 22.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Für Aufgaben b.) musst Du die Umkehrregel verwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:17 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ok habe jetzt das ganze mal versucht zu rechnen:
f´(x) = [mm] \bruch{1}{(f^{-1})'*(f(x))}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{(arcosh(x))'*(cosh(x))}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{x^{2}+1}}{cosh(x)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}}{cosh(x)}
[/mm]
= [mm] \bruch{x(x^{2}+1)^{-\bruch{1}{2}}*cosh(x)-sinh(x)*(x^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}}{(cosh(x))^{2}}
[/mm]
stimmt dies so?
lg Surfer
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Hallo Surfer
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mit $f$ wird in der Formel die Umkehrfunktion bezeichnet, also $f(x)=arccosh(x)$
Damit ist [mm] $f'(x)=arccosh'(x)=\frac{1}{\left[arccosh^{-1}\right]'(arccosh(x))}=\frac{1}{\cosh'(arccosh(x))}=\frac{1}{\sinh(arccosh(x))}...$
[/mm]
Bedenke nun, dass für die hyperbolischen Funktionen das Additionstheorem [mm] $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$ [/mm] gilt
Damit kannst du den Bruch noch schön umformen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo,
also hab jetzt mal bissl was umgeformt so dass ich dastehen hab:
f´(x)= [mm] \bruch{1}{(\wurzel{cosh^{2}(arcosh)-1}} [/mm] ?
es muss doch am schluss dastehen :
f´(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}-1}}
[/mm]
wie kann mans denn noch verändern?
gruß und danke für die Hilfe Surfer
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[mm]f'(x)= \bruch{1}{\wurzel{cosh^{2}(arcoshx)-1}} = \bruch{1}{\wurzel{(cosh(arcoshx))^2-1}}[/mm]
Siehst es?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ah ok und cosh und arcosh heben sich ja auch da sie umkehrfunktionen sind oder?
mfg surfer
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Richtig erkannt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:59 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok, vielleicht könnt ihr mir auch bei Teil 3 und 4 der Aufgabe auf die Sprünge helfen:
c) Zeigen Sie, dass für alle x in den jeweiligen Definitionsbereichen gilt:
arcosh(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}-1}) [/mm] und
arsinh(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm]
Hinweis: Substituieren Sie hierzu [mm] y:=e^{x} [/mm] in der Definition von cosh und sinh.
d) Bestimmen Sie nun anhand dieser Formeln erneut die Ableitungen [mm] \bruch{d}{dx}arcosh(x)|_{x=x0} [/mm] und [mm] \bruch{d}{dx}arcsinh(x)|_{x=x0}. [/mm] Verifizieren Sie damit ihr Ergebnis, das Sie über die Ableitung der Umkehrfunktion gewonnen haben.
lg Surfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Und wo hast du jetzt Probleme? Wie weit biste gekommen?
Das Ganze einfach vorrechnen wird dir hier wohl kaum einer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
nein, das verlange ich ja auch nicht, aber vielleicht könnte man mir Tips geben, wie ich an die Aufgabe ranzugehen habe! Um dann vielleicht schneller kappieren zu können was ich tun muss!
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Wende die Definition des [mm] $\cosh(x)$ [/mm] an mit:
$$y \ = \ [mm] \cosh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x+e^{-x}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x+\bruch{1}{e^x}}{2}$$
[/mm]
Nun den Tipp der Aufgabenstellung beachten, $z \ = \ [mm] e^x$ [/mm] setzen und umstellen.
Durch Multiplikation mit $z_$ erhältst Du dann eine quadratische Gleichung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, also ich habs jetzt so gemacht wie du es mir hier erklärt hast und komme dann auf die Gleichung:
y = cosh(x) = [mm] 2z^{2}+2 [/mm] stimmt das soweit und wie geht es dann weiter?
lg und danke surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Du musst also numehr die Gleichung $y \ = \ [mm] \bruch{z+\bruch{1}{z}}{2}$ [/mm] nach $z \ = \ ...$ umstellen.
Wie bist Du denn da auf Dein Zwischenergebnis gekommen? Bitte rechne das mal vor ...
Um dann die quadratische Gleichung für $z_$ zu lösen, solltest Du mal an die  p/q-Formel denken.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ich hab eben zuerst die Gleichung mit 2 multipliziert, um die 2 aus dem Nenner weg zu bekommen! dann habe ich dastehen:
y = cosh(x) = 2z + [mm] \bruch{2}{z}
[/mm]
und dann das ganze mit z multipliziert:
y= [mm] 2z^{2} [/mm] + 2
jetzt mit der p,q Formel bzw. Mitternachtsformel würde in meinem Fall zu z = [mm] \pm\wurzel{-1} [/mm] führen, was ja nicht geht bzw. komplex werden würde! also wo liegt mein Fehler!
lg Surfer
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Hallo Surfer,
das kann doch nicht stimmen, wie kommt die 2 dahin, wo sie bei dir ist.
Du hattest doch oben von Loddar schon den Ansatz bekommen:
[mm] $y=\frac{e^x+\frac{1}{e^x}}{2} \qquad \mid \cdot{}2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 2y=e^x+\frac{1}{e^x}$
[/mm]
Nun die Substitution [mm] $z:=e^x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow z+\frac{1}{z}-2y=0$
[/mm]
So nun das ganze [mm] $\cdot{}z$ [/mm] und dann aber endlich mit der p/q-Formel ran.
Das Resubstituieren am Ende aber nicht vergessen!
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:01 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
aaahh alles klar, ok dann erhalte ich nach dem auflösen der pq formel:
z1 = 2y-1 und z2 = -1
rücksubstituiert dann und nach y aufgelöst:
y= [mm] \bruch{e^{x}+1}{2} [/mm] und [mm] e^{x} [/mm] = -1 ?was nun?
danke schonmal!
surfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Da scheinen mir bei Dir erhebliche Defizite im Umstellen von Gleichungen vorhanden zu sein.
Denn Deine Ergebnisse sind meilenweit vom gewünschten Ergebnis entfernt (und Du weisst ja, was rauskommen muss).
Alos: bitte schrittweise hier alles aufschreiben und vorrechnen!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also nach dem multiplizieren mit 2 habe ich dastehen:
2y = [mm] z+\bruch{1}{z}
[/mm]
dann mit z multipliziert liefert:
[mm] z^{2}-2zy+1 [/mm] = 0
dann Mitternachtsformel
[mm] z_{1,2}= \bruch{2y\pm \wurzel{4y^{2}-4} }{2}
[/mm]
liefert:
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2y \pm 2y-2}{2}
[/mm]
gibt [mm] z_{1} [/mm] = 2y-1 und [mm] z_{2}=-1
[/mm]
jetzt kommt die Rücksubstitution:
[mm] e^{x} [/mm] = 2y-1 nach y aufgelöst: y= [mm] \bruch{e^{x}+1}{2}
[/mm]
und [mm] e^{x} [/mm] = -1
?
so schauts aus!
bitte um Verbesserungsvorschläge
gruß Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ok dann halt:
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{2y \pm \wurzel{4y^{2}-4}}{2}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = y [mm] \pm \wurzel{2y^{2}-2}
[/mm]
und jetzt rücksubstituieren oder was?
gruß Surfer
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Hallo Surfer,
trink erstmal nen großen Kaffee 
Die Idee ist gut, aber...
> ok dann halt:
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{2y \pm \wurzel{4y^{2}-4}}{2}[/mm]
> [mm]z_{1,2}[/mm] = y [mm]\pm \wurzel{2y^{2}-2}[/mm]
Du willst richtigerweise im Zähler ne 2 ausklammern, aber dazu musst du doch [mm] $\sqrt{4}=2$ [/mm] aus der Wurzel holen
Du hast unter der Wurzel nur ne 2 ausgeklammert, du musst die 4 ausklammern!!
[mm] $z_{1,2}=\frac{2y\pm\sqrt{4y^2-4}}{2}=\frac{2y\pm\sqrt{4\cdot{}(y^2-1)}}{2}=\frac{2y\pm\sqrt{4}\cdot{}\sqrt{y^2-1}}{2}=\frac{2y\pm 2\cdot{}\sqrt{y^2-1}}{2}=\frac{2\cdot{}(y\pm\sqrt{y^2-1})}{2}=y\pm\sqrt{y^2-1}$
[/mm]
>
> und jetzt rücksubstituieren oder was?
Genau, mit [mm] $z_{1,2}=e^{x_{1,2}}=y\pm\sqrt{y^2-1}$ [/mm] ist [mm] $x_{1,2}= [/mm] ...$
>
> gruß Surfer
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hast recht nen Kaffee wäre glaub ich jetzt echt net schlecht!
> > und jetzt rücksubstituieren oder was?
>
> Genau, mit [mm]z_{1,2}=e^{x_{1,2}}=y\pm\sqrt{y^2-1}[/mm] ist
> [mm]x_{1,2}= ...[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] ln(y\pm \wurzel{y^{2}-1})
[/mm]
und jetzt darf ich einfach sagen:
arcosh(x) = [mm] ln(x+\wurzel{y^{2}-1}) [/mm] oder wie?
danke
Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Durch das " [mm] $\pm$ [/mm] " hast Du ja noch zwei Lösungen. Du musst also nun noch überlegen und begründen, warum die Lösung mit Minuszeichen entfällt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Weil die Umkehrfunktion von cosh(x) sprich der arcosh(x) ja bijektiv sein muss und nur für alle positiven reelen Zahlen definiert ist!
surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Denk' mal eher an den Definitionsbereich der [mm] $\ln(...)$-Funktion.
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Der Definitionsbereich von der ln Funktion ist doch folgendermaßen definiert:
D = ) [mm] 0,\infty [/mm] (
also wird diese nicht negativ somit gilt arcosh(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}-1})
[/mm]
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 So 25.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Arccosh.png){kind=small}
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