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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 So 11.02.2007 | | Autor: | TopHat |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu f(x)= [mm] x^1+x^{-1} [/mm] mit [mm] D=\IR{0 }
[/mm]
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alternativ:
f(x)= x + [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{x^2+1}{x}
[/mm]
hmm, wenn dass erste x nicht wär, dann wäre es ja logisch, aber ich schaffe es einfach nicht, x auszuklammern. aber ich habe irgendwie das gefühl das lässt sich mit der umkehrregel lösen, aber ich habe keine idee. Eventuell gibts doch die Integrationsregel wenn der Zähler die Ableitung des Nenners ist... aber ich glaube DAS kann ich hier nicht gebrauchen.
Bitte, kann mir jemand helfen?
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Hi, TopHat,
> Umkehrfunktion f(x)= x + [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> f(x)= [mm]\bruch{x^2+1}{x}[/mm]
>
> hmm, wenn dass erste x nicht wär, dann wäre es ja logisch,
> aber ich schaffe es einfach nicht, x auszuklammern. aber
> ich habe irgendwie das gefühl das lässt sich mit der
> umkehrregel lösen, aber ich habe keine idee. Eventuell
> gibts doch die Integrationsregel wenn der Zähler die
> Ableitung des Nenners ist... aber ich glaube DAS kann ich
> hier nicht gebrauchen.
1. Diese Funktion kann man auf ihrer maximalen Definitionsmenge NICHT umkehren, sondern allenfalls in einem der Intervalle:
[mm] ]-\infty; [/mm] -1] oder [-1; 0 [ oder ]0; 1] oder [1; [mm] +\infty[.
[/mm]
2. Die "Umkehrregel" bezieht sich NICHT auf die Umkehrfunktion, sondern auf deren ABLEITUNG.
3. Was Du mit einer "Integrationsregel" bei der Bestimmung einer Umkehrfunktion möchtest, versteh' ich schon überhaupt nicht.
Resultat:
Schreib' bitte erst mal, was im Aufgabentext genau verlangt ist!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 So 11.02.2007 | | Autor: | TopHat |
Aufgabe wurde konkretisiert. Nach 1) scheint diese Funktion auf ihrem (gesamten) Definitionsbereich keine Umkehrfunktion zu besitzen, liege ich da richtig. Und das mit der Ableitungsregel war nur so eine Idee, um auf die Umkehrfunktion evtl. über Integration und Ableitung zu gelangen.
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Hi, TopHat,
nachdem der Bereich, in dem die Umkehrfunktion gebildet werden soll, nicht vorgegeben ist, geb' ich mal selber einen vor:
[mm] D_{f} [/mm] = [1 ; [mm] \infty[ [/mm] Damit ist [mm] W_{f} [/mm] = [2; [mm] \infty[
[/mm]
und für die Umkehrfunktion genau umgekehrt.
f: y = [mm] \bruch{x^{2} + 1}{x} [/mm]
f ist umkehrbar, da im vorgegebenen Intervall echt monoton zunehmend.
[mm] f^{-1}: [/mm] x = [mm] \bruch{y^{2} + 1}{y} [/mm] | * y
x*y = [mm] y^{2} [/mm] + 1
[mm] y^{2} [/mm] - x*y + 1 = 0
Dies ist eine quadratische Gleichung in der Lösungsvariablen y, daher:
[mm] y_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{x \pm \wurzel{x^{2} - 4}}{2}
[/mm]
Zur Ermittlung des richtigen Vorzeichens beim Wurzelterm verwende ich die "Punktmethode":
Der Punkt P(2; 2,5) liegt sicher auf dem Graphen von f;
dann muss der Punkt [mm] P^{-1}(2,5; [/mm] 2) auf dem Graphen von [mm] f^{-1} [/mm] liegen.
Das geht nur, wenn "+" vor der Wurzel steht (Nachrechnen!).
Daher: y = [mm] \bruch{x \red{+} \wurzel{x^{2} - 4}}{2}
[/mm]
Das war's!
mfG!
Zwerglein
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