Umkehrfunktion für Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | y' = [mm] \bruch{cos x}{cos^{2}y} [/mm] , [mm] y(\pi)=\bruch{\pi}{4} [/mm]
(Verwenden Sie zur Lösung die Umkehrfunktion) |
Bin mir überhaupt nicht sicher ob ich den Ansatz so machen darf:
Umkehren mit Umkehrregel:
x' = [mm] \bruch{cos^{2}y}{cos x}
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{cos^{2}y}{cos x}
[/mm]
Variablentrennung:
cos x dx = [mm] cos^{2}y [/mm] dy
[mm] \integral{cos x dx} [/mm] = [mm] \integral{cos^{2}y dy}
[/mm]
sin x = [mm] \bruch{1}{2}y [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}sin [/mm] 2y + C
Mit Anfangswert:
x = [mm] arcsin(\bruch{1}{2}y [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}sin [/mm] 2y - [mm] \bruch{\pi + 2}{8})
[/mm]
Und jetzt sagt man einfach, dass die Umkehrfunktion davon wiederum die Lösung meiner ursprünglichen DGL ist? Stimmt das so?
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Im Prinzip richtig. Nur ganz zum Schluß bist du in die Falle, die man dir aufgestellt hat, getappt. Setzen wir in deine Lösung einmal die Anfangswerte [mm]x = \pi, \, y = \frac{\pi}{4}[/mm] ein, so steht da:
[mm]\pi = \arcsin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} \, \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi + 2}{8} \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \pi = 0[/mm]
Und mit dieser neuen Erkenntnis, daß nämlich [mm]\pi[/mm] nicht irgendetwas mit Dreikommanochwas, sondern exakt 0 ist, sollten wir uns nicht abfinden …
Du mußt die Umkehrfunktion der Sinusfunktion in einem Intervall bestimmen, das den Wert [mm]x = \pi[/mm] enthält. Das größtmögliche derartige Intervall ist [mm]\left[ \frac{\pi}{2} \, , \, \frac{3}{2} \, \pi \right][/mm]. Bezeichnen wir diesen Zweig der Arcussinusfunktion einmal durch Überstreichung, so muß er also Folgendes gewährleisten:
[mm]\overline{\arcsin}: \ [-1,1] \to \left[ \frac{\pi}{2} \, , \, \frac{3}{2} \, \pi \right][/mm]
[mm]\sin \left( \overline{\arcsin}(t) \right) = t \, , \ \ \overline{\arcsin} \left( \sin x \right) = x \ \ \mbox{für} \ \ x \in \left[ \frac{\pi}{2} \, , \, \frac{3}{2} \, \pi \right] , \ t \in \left[ -1 \, , \, 1 \right][/mm]
Welcher einfache Zusammenhang gilt zwischen [mm]\overline{\arcsin}(t)[/mm] und der klassischen Arcussinusfunktion [mm]\arcsin(t)[/mm] ? Wenn du diesen Zusammenhang gefunden hast, kannst du deine Lösung
[mm]x = \overline{\arcsin} \left( \frac{1}{2} \, y + \frac{1}{4} \, \sin(2y) - \frac{\pi + 2}{8} \right)[/mm]
durch [mm]\arcsin[/mm] ausdrücken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Ikit |
[mm] \overline{arcsin(x)} [/mm] = arcsin(x - [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] ?
D.h. Lösung wär dann:
$ x = [mm] \arcsin \left( \frac{1}{2} \, y + \frac{1}{4} \, \sin(2y) - \frac{\pi + 2}{8} - \bruch{\pi}{2}\right) [/mm] = [mm] \arcsin \left( \frac{1}{2} \, y + \frac{1}{4} \, \sin(2y) - \frac{5\pi + 2}{8}\right) [/mm] $
Richtig so?
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Hallo Ikit,
> [mm]\overline{arcsin(x)}[/mm] = arcsin(x - [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] ?
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> D.h. Lösung wär dann:
>
> [mm]x = \arcsin \left( \frac{1}{2} \, y + \frac{1}{4} \, \sin(2y) - \frac{\pi + 2}{8} - \bruch{\pi}{2}\right) = \arcsin \left( \frac{1}{2} \, y + \frac{1}{4} \, \sin(2y) - \frac{5\pi + 2}{8}\right)[/mm]
>
> Richtig so?
Leider nein.
Betrachte hier die Abbildungen
[mm] \overline{\arcsin}: \ [-1,1] \to \left[ \frac{\pi}{2} \, , \, \frac{3}{2} \, \pi \right] [/mm]
[mm]\arcsin: \ [-1,1] \to \left[ -\frac{\pi}{2} \, , \, +\frac{\pi}{2} \right] [/mm]
Die beiden Bildintervalle haben die gleiche Länge.
Jedoch ist das Bildintervall von [mm] \overline{\arcsin}[/mm] etwas verschoben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Ikit |
Achso. Dann ist der Zusammenhang:
[mm] \overline{arcsin(x)} [/mm] = arcsin(x) + [mm] \pi
[/mm]
Jetzt richtig?
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Hallo Ikit,
> Achso. Dann ist der Zusammenhang:
>
> [mm]\overline{arcsin(x)}[/mm] = arcsin(x) + [mm]\pi[/mm]
>
> Jetzt richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Die Umkehreigenschaft ist nicht erfüllt.
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Die von dir angegebene Funktion bildet zwar in das richtige Intervall ab, ist aber keine Umkehrung des Sinus, weil [mm]\sin \left( \overline{\arcsin}(x) \right) = x[/mm] nicht erfüllt ist. Deine Funktion liefert [mm]-x[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Ikit |
Puh hab jetzt echt lange rumüberlegt aber bin auf keine gescheite Lösung gekommen. Kannst du mir noch einen Hinweis geben?
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Skizziere dir den Graphen der Sinusfunktion und spiegle ihn an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. Dann schlängelt sich die neue Kurve an der [mm]y[/mm]-Achse entlang. Die gesamte Kurve stellt also keinen Funktionsgraphen mehr dar, die einzelnen Stücke zwischen Links- und Rechtspunkt aber schon. Das Stück, das durch den Ursprung geht, gehört zur gewöhnlichen Arcussinusfunktion, du brauchst aber das Stück darüber. Welcher funktionale Zusammenhang besteht zwischen den beiden Stücken?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Ikit |
Das Stück darüber erfüllt die Gleichung:
y = - arcsin(x) + [mm] \pi
[/mm]
Also [mm] \overline{arcsin(x)} [/mm] = - arcsin(x) + [mm] \pi [/mm] ?
Wobei sin(-arcsin(x) + [mm] \pi) [/mm] = x
Müsst also passen oder?
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