Umkehrfunktion zu gelöster Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
| Aufgabe | Zu lösende Dgl: [mm] \bruch{dx}{dt}=-k_1*(a-x)*(b-x)+k_2*x
[/mm]
und dann die Umkehrfunktion (wenn möglich) finden |
Hallo, ich habe die vorliegende obige Dgl. und habe sie entsprechend umgeformt, dass ich die zu lösende Form
[mm] \bruch{dx}{dt}=-k_1*x^2+[k_1*(a+b)+k_2]*x-k_1*a*b [/mm]
erhalte. Aus einem Koeffizientenvergleich und Variablentrennung erhalte ich nach dem Bronstein folgende Lösung für den für mich relevanten Fall von [mm] \Delta<0
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{dx}{Ax^2+Bx+C}}=\bruch{1}{\wurzel{-\Delta}}*ln\bruch{2Ax+B-\wurzel{-\Delta}}{2Ax+B+\wurzel{-\Delta}}=-\bruch{2}{\wurzel{-\Delta}}artanh\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}
[/mm]
mit [mm] \Delta=4AC+B^2
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{dx}{Ax^2+Bx+C}}=\integral{dt}
[/mm]
Für eine Integration von x=0 bis x=x´und t=0 bis t=t´erhalte ich:
[mm] t=\bruch{1}{\wurzel{-\Delta}}*ln\bruch{2Ax´+B-\wurzel{-\Delta}}{2Ax´+B+\wurzel{-\Delta}}-\bruch{1}{\wurzel{-\Delta}}*ln\bruch{B-\wurzel{-\Delta}}{B+\wurzel{-\Delta}}
[/mm]
Diese Funktion sollte richtig sein. Große Probleme habe ich hier eine Umkehrfunktion zu finden. Hat jemand eine Idee, ob das überhaupt geht?!
Vielen Dank schonmal für die Hilfe.
Waschi
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Hallo Waschi,
> Zu lösende Dgl: [mm]\bruch{dx}{dt}=-k_1*(a-x)*(b-x)+k_2*x[/mm]
> und dann die Umkehrfunktion (wenn möglich) finden
> Hallo, ich habe die vorliegende obige Dgl. und habe sie
> entsprechend umgeformt, dass ich die zu lösende Form
> [mm]\bruch{dx}{dt}=-k_1*x^2+[k_1*(a+b)+k_2]*x-k_1*a*b[/mm]
> erhalte. Aus einem Koeffizientenvergleich und
> Variablentrennung erhalte ich nach dem Bronstein folgende
> Lösung für den für mich relevanten Fall von [mm]\Delta<0[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{dx}{Ax^2+Bx+C}}=\bruch{1}{\wurzel{-\Delta}}*ln\bruch{2Ax+B-\wurzel{-\Delta}}{2Ax+B+\wurzel{-\Delta}}=-\bruch{2}{\wurzel{-\Delta}}artanh\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}[/mm]
>
> mit [mm]\Delta=4AC+B^2[/mm]
Richtigerweise muss das lauten: [mm]\Delta=4AC\red{-}B^2[/mm]
Die Formel gilt, so wie sie da steht, für
[mm]\vmat{\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}}>1[/mm]
Dann ist aber
[mm]\ln\bruch{2Ax+B-\wurzel{-\Delta}}{2Ax+B+\wurzel{-\Delta}}=\left(-2\right)\operatorname{arcoth}\left(\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}}\right)=\left(-2\right)\operatorname{artanh}\left(\bruch{\wurzel{-\Delta}}{2Ax+B}}\right)[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{dx}{Ax^2+Bx+C}}=\integral{dt}[/mm]
>
> Für eine Integration von x=0 bis x=x´und t=0 bis
> t=t´erhalte ich:
>
> [mm]t=\bruch{1}{\wurzel{-\Delta}}*ln\bruch{2Ax´+B-\wurzel{-\Delta}}{2Ax´+B+\wurzel{-\Delta}}-\bruch{1}{\wurzel{-\Delta}}*ln\bruch{B-\wurzel{-\Delta}}{B+\wurzel{-\Delta}}[/mm]
>
> Diese Funktion sollte richtig sein. Große Probleme habe
> ich hier eine Umkehrfunktion zu finden. Hat jemand eine
> Idee, ob das überhaupt geht?!
Sicher geht das.
Fasse zuerst die ln's nach den Logarithmengesetzen zusammen.
Das kannst Du, weil vor diesen ln's jeweils derselbe Faktor steht.
>
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe.
>
> Waschi
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Nach Anwenden der logarythmen-Gesetze und weiterem Umformen bin ich nun hier gelandet:
[mm] x(2AB-2A\wurzel{-\Delta})*exp(t*\wurzel{-\Delta})+exp(t*\wurzel{-\Delta})*(B^2+\Delta)=x(2AB+2A\wurzel{-\Delta})+B^2+\Delta
[/mm]
Von hier ab drehe ich mich nur im Kreis, was das weitere Umformen angeht. Wie komme ich von hier aus am besten weiter?
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Hallo Waschi,
> Nach Anwenden der logarythmen-Gesetze und weiterem Umformen
> bin ich nun hier gelandet:
>
> [mm]x(2AB-2A\wurzel{-\Delta})*exp(t*\wurzel{-\Delta})+exp(t*\wurzel{-\Delta})*(B^2+\Delta)=x(2AB+2A\wurzel{-\Delta})+B^2+\Delta[/mm]
>
> Von hier ab drehe ich mich nur im Kreis, was das weitere
> Umformen angeht. Wie komme ich von hier aus am besten
> weiter?
Jetzt löst Du die obige Gleichung nach x auf.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Also, wenn ich das weiter auflöse bekomme ich:
[mm] x=\bruch{-0,5(exp(Z)*B^2-exp(Z)*\wurzel{-\Delta}-B^2-\Delta}{A*(exp(Z)*B-exp(Z)*\wurzel{-\Delta}-B-\wurzel{-\Delta} ) }
[/mm]
Plotte ich diese Lösung jedoch in Excel, dann ist dies definitiv nicht die Umkehrfunktion. Ich gehe also davon aus, dass ich noch irgendwo einen Fehler habe.
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Hallo Waschi,
> Also, wenn ich das weiter auflöse bekomme ich:
>
> [mm]x=\bruch{-0,5(exp(Z)*B^2-exp(Z)*\wurzel{-\Delta}-B^2-\Delta}{A*(exp(Z)*B-exp(Z)*\wurzel{-\Delta}-B-\wurzel{-\Delta} ) }[/mm]
Hier fehlt ein [mm]\Delta[/mm]:
[mm]x=\bruch{-0,5(exp(Z)*B^2\red{+\Delta}*exp(Z)*\wurzel{-\Delta}-B^2-\Delta}{A*(exp(Z)*B-exp(Z)*\wurzel{-\Delta}-B-\wurzel{-\Delta} ) }[/mm]
>
> Plotte ich diese Lösung jedoch in Excel, dann ist dies
> definitiv nicht die Umkehrfunktion. Ich gehe also davon
> aus, dass ich noch irgendwo einen Fehler habe.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Vielen Dank schonmal, ich habe mich hier schon etwas abgequält. Allerdings, wenn ich diese Lösung plotte, entspringt der Graph nicht im Ursprung für t=0. Der Grenzwert gegen den er streben soll stimmt jetzt aber schon. Ich habe leider gerade keine Ahnung, warum er nicht im Ursprung startet.
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Hallo Waschi,
> Vielen Dank schonmal, ich habe mich hier schon etwas
> abgequält. Allerdings, wenn ich diese Lösung plotte,
> entspringt der Graph nicht im Ursprung für t=0. Der
> Grenzwert gegen den er streben soll stimmt jetzt aber
> schon. Ich habe leider gerade keine Ahnung, warum er nicht
> im Ursprung startet.
Seltsam, bei mir entspringt der Graph im Ursprung, da [mm]x\left(0\right)=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Ok, dann auf jeden Fall vielen vielen Dank. Das Problem wird dann Eindeutig an meiner leider schon mehrmals überprüften Eingabe in Excel liegen. Am besten lasse ich dann für heute besser die Finger davon und setze mich morgen nochmal aufs Neue daran.
Vielen Dank und Gruß
Waschi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Das ließ mir doch jetzt keine Ruhe.
für x=0 ist t auch Null, demzufolge wird der Exponent zu 1 und die Gleichung wird zu
[mm] x(0)=\bruch{\Delta*(\wurzel{-\Delta}-1)}{4*A*\wurzel{-\Delta}}
[/mm]
Für meine Werte kommt da eine Zahl ungleich Null raus. Aber die Bedingung, dass [mm] \Delta<0 [/mm] sein muss ist bei mir auf jeden Fall erfüllt. Sonst bekäme ich ja auch keine Werte für die Wurzel raus.
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Hallo Waschi,
> Das ließ mir doch jetzt keine Ruhe.
>
> für x=0 ist t auch Null, demzufolge wird der Exponent zu 1
> und die Gleichung wird zu
>
> [mm]x(0)=\bruch{\Delta*(\wurzel{-\Delta}-1)}{4*A*\wurzel{-\Delta}}[/mm]
>
> Für meine Werte kommt da eine Zahl ungleich Null raus.
> Aber die Bedingung, dass [mm]\Delta<0[/mm] sein muss ist bei mir auf
> jeden Fall erfüllt. Sonst bekäme ich ja auch keine Werte
> für die Wurzel raus.
>
Die umgeformte >Gleichung war natürlich richtig:
[mm]x\left(t\right)=\bruch{-0,5(exp(Z)\cdot{}B^2-exp(Z)\cdot{}\wurzel{-\Delta}-B^2-\Delta}{A\cdot{}(exp(Z)\cdot{}B-exp(Z)\cdot{}\wurzel{-\Delta}-B-\wurzel{-\Delta} ) } [/mm]
,wobei [mm]Z=\wurzel{-\Delta}*t[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Aber selbst bei der Gleichung ist x(0) ungleich Null. Wobei mein Problem auch schon etwas früher anfängt. Trage ich nämlich t(x) auf, dann ist der Verlauf physikalisch richtig, wenn ich im Diagramm den Betrag von t auftrage, da nur für negative Werte von t sinnvolle Ergebnisse herauskommen. Der Graph als solches ist aber Top und stimmt dann auch mit einem Bild einer numerischen Lösung überein, dass ich für gleiche Parameter hier vorliegen habe. Für mich ist jedoch die Umkehrfunktion viel mehr von Interesse.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Ich habe an den letzten Post mal einen Graphen der Funktion angehängt, für die Parameter:
[mm] k_1=1*10^8
[/mm]
[mm] k_2=3,45*10^-7*K_1
[/mm]
[mm] a=5*10^{-6}
[/mm]
[mm] b=5*10^{-3}
[/mm]
Und die sich daraus ergebenden Koeffizienten
[mm] A=-1*10^8
[/mm]
[mm] B=5,01*10^5
[/mm]
C=-2,5
[mm] \Delta=-2,5*10^{11}
[/mm]
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Hallo Waschi,
> Aber selbst bei der Gleichung ist x(0) ungleich Null.
> Wobei mein Problem auch schon etwas früher anfängt. Trage
> ich nämlich t(x) auf, dann ist der Verlauf physikalisch
> richtig, wenn ich im Diagramm den Betrag von t auftrage, da
> nur für negative Werte von t sinnvolle Ergebnisse
> herauskommen. Der Graph als solches ist aber Top und stimmt
> dann auch mit einem Bild einer numerischen Lösung
> überein, dass ich für gleiche Parameter hier vorliegen
> habe. Für mich ist jedoch die Umkehrfunktion viel mehr von
> Interesse.
Selbst bei der Korrektur Deiner umgeformten Funktion habe ich
mich vertippt.
Weder Deine noch meine korrigierte Funktion ist richtig.
Die finale Funktion lautet:
[mm]x\left(t\right)=\bruch{-0,5\left(exp(Z)\cdot{}B^2\red{+}exp(Z)\cdot{}\red{\Delta}-B^2-\Delta\right)}{A\cdot{}(exp(Z)\cdot{}B-exp(Z)\cdot{}\wurzel{-\Delta}-B-\wurzel{-\Delta} ) }[/mm]
mit [mm]Z=\wurzel{-\Delta}*t[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:12 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Wenn ich deine letzte Gleichung benutze wird die Funktion bei x(0) zu Null, der Verlauf stimmt aber nicht mehr. Bei deiner ersten korrigierten Gleichung stimmte der Startpunkt nicht, aber der Verlauf war perfekt und der Grenzwert stimmte auch. Normalerweise würde ich meinen, dass es eine Umkehrfunktion geben muss, aber irgendwie führt dass alles nicht zum gewünschten Ergebnis.
Ich hatte mich auch schon an der "anderen" Lösung des Integrals versucht mit atanh und habe den tanh darauf angewendet, aber selbst dass führt nicht zum Erfolg. Kann es deshalb sein, dass es zu dieser Funktion keine Umkehrfunktion gibt? Wobei im Betrachteten Intervall ist sie stetig, also würde ich meinen es sollte eine geben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 23.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Überprüfe noch mal Deine Umformung, nach der Du x= ... da stehen hast. Ich komme überhaupt nicht auf Dein Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
Ich abe vorhin was wichtiges überlesen:
> Die Formel gilt, so wie sie da steht, für
>
> [mm]\vmat{\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}}>1[/mm]
>
Diese Bedingung ist bei mir nicht für alle t erfüllt.
Gibt es denn evtl eine andere Lösung mein Problem zu knacken, oder komme ich um die Numerik nicht herum? schön wäre es ja schon, wenn man das analytisch händeln könnte, aber es sieht wohl eher schlecht aus.
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Hallo Waschi,
> Ich abe vorhin was wichtiges überlesen:
>
>
> > Die Formel gilt, so wie sie da steht, für
> >
> > [mm]\vmat{\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}}>1[/mm]
> >
>
> Diese Bedingung ist bei mir nicht für alle t erfüllt.
>
> Gibt es denn evtl eine andere Lösung mein Problem zu
> knacken, oder komme ich um die Numerik nicht herum? schön
> wäre es ja schon, wenn man das analytisch händeln
> könnte, aber es sieht wohl eher schlecht aus.
Nun, dann hast Du zwei Lösungen.
Eine für [mm]\vmat{\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}}>1[/mm] und eine für [mm]\vmat{\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}}<1[/mm].
Im Fall [mm]\vmat{\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}}>1[/mm] ist es der [mm]\operatorname{arcoth}[/mm]
Im Fall [mm]\vmat{\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}}<1[/mm] ist es der [mm]\operatorname{artanh}[/mm]
Wobei sich arcoth und artanh ineinander überführen lassen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
d.h.
die Lösung des Integrals lautet für mich [mm] -\bruch{2}{\wurzel{-\Delta}}arcoth\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}} [/mm] , da alle Werte >1 sind?
Habe mich beim letzten thread auch vertan, es muss ja x sein und nicht t, und bei mir ist der term in jedem Fall größer 1.
Hast du einen Ratschlag für ein Buch, wo diese Fallunterscheidnung drin steht? Im Bronstein ist bei dem unbestimmten Integral nur die Fallunterscheidung für [mm] \Delta [/mm] gemacht
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Hallo Waschi,
> d.h.
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> die Lösung des Integrals lautet für mich
> [mm]-\bruch{2}{\wurzel{-\Delta}}arcoth\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}[/mm]
> , da alle Werte >1 sind?
Hier muss dann gelten:
[mm]\vmat{\bruch{2Ax+B}{\wurzel{-\Delta}}} > 1[/mm]
> Habe mich beim letzten thread auch vertan, es muss ja x
> sein und nicht t, und bei mir ist der term in jedem Fall
> größer 1.
> Hast du einen Ratschlag für ein Buch, wo diese
> Fallunterscheidnung drin steht? Im Bronstein ist bei dem
> unbestimmten Integral nur die Fallunterscheidung für
> [mm]\Delta[/mm] gemacht
Mir ist kein Buch bekannt, in dem diese
Fallunterscheidungen drin stehen.
Wenn dieses Integral von Hand ausgerechnet wird, dann kann man
die Substitution so wählen, dass sie für das vorgegebene Intervall
erfüllt ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Do 23.09.2010 | | Autor: | Waschi |
ok, vielen Dank!!! Das erklärt jetzt auch, warum ich den Betrag von t im Diagramm auftragen musste um zu einem physikalisch sinnvollen Ergebnis zu kommen. Denn so passt es nun. Jetzt werde ich mich nur erneut an die für mich so leidige Umformung machen müssen ;)
Viele Grüße
Waschi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 25.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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