Umkehrfunktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 25.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | Zeige für ganzrationale Funktionen f:
a) Wenn f umkehrbar isr, dann ist der Grad von f ungerade.
b) f ist genau dann umkehrbar, wenn f keine Extremstellen hat. |
Hallo Zusammen!
Leider hab ich ein etwas kleineres Problem mit der Aufgabe. Bis jetzt bin ich schonmal soweit, dass es sich ja um eine ganzrationale Funktion handelt, nur wenn der Grad ungerade ist, dann weiß ich ja nicht, ob die Exponenten alle ungerade sind, oder? Weil sonst wüsste man ja beispielsweise, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
Das Problem dabei ist dann ja jedoch, dass ich nicht weiß wie vielten Grades die Fkt ist und die kann ja unendlich lang sein...
Also kurz gesagt, ich bin irgendwie zu blöd einen sinnvollen Ansatz zu finden... Kann mir evtl. einer helfen?
Lg Pia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 25.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Pia!
> Zeige für ganzrationale Funktionen f:
> a) Wenn f umkehrbar isr, dann ist der Grad von f ungerade.
> b) f ist genau dann umkehrbar, wenn f keine Extremstellen hat.
> Hallo Zusammen!
>
> Leider hab ich ein etwas kleineres Problem mit der Aufgabe.
> Bis jetzt bin ich schonmal soweit, dass es sich ja um eine
> ganzrationale Funktion handelt, nur wenn der Grad ungerade
> ist, dann weiß ich ja nicht, ob die Exponenten alle
> ungerade sind, oder? Weil sonst wüsste man ja
> beispielsweise, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
> Das Problem dabei ist dann ja jedoch, dass ich nicht weiß
> wie vielten Grades die Fkt ist und die kann ja unendlich
> lang sein...
> Also kurz gesagt, ich bin irgendwie zu blöd einen
> sinnvollen Ansatz zu finden... Kann mir evtl. einer
> helfen?
Für die a) kannst du auch zeigen, dass eine Funktion mit geradem Grad nicht umkehrbar ist. (Denn das ist die Umkehrung der Aussage.)
Also nimm an, dass du eine ganzrationale Funktion hast, deren Grad gerade ist. Sie geht also los mit
[mm] f(x) = a_{2n}x^{2n} + \dots [/mm]
Du kannst der Einfachheit erst einmal den Fall [mm] $a_{2n}>0$ [/mm] betrachten. Was passiert für [mm] $x\to\pm\infty$, [/mm] und was folgt daraus für die Umkehrbarkeit?
Diese Überlegung hilft dir auch für Teilaufgabe b)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 25.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
> [mm]f(x) = a_{2n}x^{2n} + \dots[/mm]
>
aber ich kann bei der Funktion auch durchaus ungerade exponenten dabei haben, oder? Oder muss ich jetzt davon ausgehen, dass alle gerade sind? Weil wenn alles gerade sind, ist der Graph ja Achsensymmetrisch und deshalb nicht umkehrbar....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Di 25.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Pia!
>
> > [mm]f(x) = a_{2n}x^{2n} + \dots[/mm]
> >
> aber ich kann bei der Funktion auch durchaus ungerade
> exponenten dabei haben, oder? Oder muss ich jetzt davon
> ausgehen, dass alle gerade sind? Weil wenn alles gerade
> sind, ist der Graph ja Achsensymmetrisch und deshalb nicht
> umkehrbar....
Richtig, das ist der einfachste Fall, wenn du überhaupt keine ungeraden Exponenten hast.
Im Allgemeinen können aber beliebige ungerade Exponenten $<2n$ vorkommen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 25.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
Ok, dann betrachte ich am besten den schwierigen Fall 
f(x) = [mm] a_{2n}x^{2n} [/mm] + [mm] a_{2n-1}x^{2n-1} [/mm] + ... + [mm] a_0
[/mm]
dann muss ich davon als nächstes die ABleitung bestimmen, oder? Aber wie kann ich das allgemein fassen? Oder kann ich einfach davon ausgehen, dass das beispielsweise eine Funktion 4. Grades ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Di 25.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
ok, also aus einer Funktion mit geradem Grad wir ja eine ABleitung mit ungeradem Grad und bei einer Funktion mit ungeradem Grad dementsprechend eine Ableitung mit geraden Grad.
f'(x) hat keine Nullstelle, weil da immer noch das [mm] a_1 [/mm] steht, oder seh ich das jetzt irgendwie falsch? Und weil es keine Nullstelle gibt, ist die Funktion nicht umkehrbar?
Oh mein Gott, ich bin so schlecht in Mathe geworden...
Sorry für meine ganzen Fragen und schonmal vielen, vielen Dank für die ganze Hilfe! Alleine wäre ich niemals soweit gekommen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 25.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Pia!
> ok, also aus einer Funktion mit geradem Grad wir ja eine
> ABleitung mit ungeradem Grad und bei einer Funktion mit
> ungeradem Grad dementsprechend eine Ableitung mit geraden
> Grad.
> f'(x) hat keine Nullstelle, weil da immer noch das [mm]a_1[/mm]
> steht, oder seh ich das jetzt irgendwie falsch? Und weil es
> keine Nullstelle gibt, ist die Funktion nicht umkehrbar?
Nein. Zunächst mal ist [mm] $f'(0)=a_1$, [/mm] aber das hat mit der Nullstelle nix zu tun.
Für sehr große positive [mm] ($x\to+\infty$) [/mm] oder sehr große negative [mm] ($x\to-\infty$) [/mm] Werte von x bestimmt der erste Term das Verhalten der Funktion, also [mm] $a_{2n}x^{2n}$ [/mm] bei $f(x)$ und [mm] $2na_{2n}x^{2n-1}$ [/mm] bei $f'(x)$ (denn er ist dem Betrag nach viel größer als alle anderen Terme).
Nehmen wir mal an, dass [mm] $a_{2n}>0$ [/mm] ist (für [mm] $a_{2n}<0$ [/mm] geht das analog).
Da (2n-1) ungerade ist, ist $f'(x)$ für sehr große negative Werte von x negativ, und für sehr große positive Werte von x positiv. Da $f'(x)$ als ganzrationale Funktion stetig ist, muss sie alle Werte dazwischen annehmen, also auch 0. Damit hat $f'(x)$ mindestens eine Nullstelle, und dort hat dann $f(x)$ eine waagrechte Tangente.
Genauso gilt: da (2n) gerade ist, ist $f(x)$ für sehr große positive und negative Werte von x immer positiv, und zwar (wegen des Vorzeichens von $f'(x)$) mit positiver Tangentensteigung für sehr große positive x und negativer Tangentensteigung für sehr große negative x.
Zusammengenommen muss $f(x)$ für [mm] $a_{2n}>0$ [/mm] ein Minimum und für [mm] $a_{2n}<0$ [/mm] ein Maximum haben.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank nochmal für die Hilfe!
Wir brauchten es nur einfach begründen und garnciht so kompliziert beweisen^^ aber schadet schon nicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
Hallo!
Ich habe mal wieder Probleme mit Beweisen und zwar hänge ich an folgenden und bekomme sie einfach nciht auf die Reihe. Den einfachen Beweis hab cih noch hinbekommen, mit Hilfe, aber diese hier nun sind irgendwie zu hoch für mich .... und wenn ichs nicht bewiesen habe, dann darf ich das nicht benutzen^^
Also bitte ich euch mir zu helfen
Und zwar muss ich Beweisen
1.) [mm] (\wurzel[q]{x})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{q} [/mm] * [mm] x^{\bruch{1}{q} - 1}
[/mm]
2.) ( arcsin(x))' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
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Hallo Pia,
benutze die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion
[mm] $f'(x)=\frac{1}{\left(f^{invers}\right)'(f(x))}$
[/mm]
einfach einsetzen und stur ausrechnen ...
bei (b) bedenke, dass [mm] $\arcsin$ [/mm] und [mm] $\sin$ [/mm] invers zueinander sind und die Beziehung [mm] $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$, [/mm] also [mm] $\cos(z)=\sqrt{1-\sin^2(z)}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
>
> [mm]f'(x)=\frac{1}{\left(f^{invers}\right)'(f(x))}[/mm]
>
ist das (f^(-1)(y))'= [mm] \bruch{1}{f'(f^(-1)(y))} [/mm] ??
Aber was kann ich denn wo einsetzen? Sorry ich bin in letzter Zeit irgendwie ein wenig schwer von begriff...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
Aaaalso
(a) wär dann ja
[mm] (\sqrt[q]{x})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(\sqrt[q]{x})}
[/mm]
muss ich dann für den Nenner die Ableitung von [mm] \sqrt[q]{x} [/mm] bestimmen und das dann auflösen?
der Ansatz für (b) wär dann dementsprechend
(arcsin x)' = [mm] \bruch{1}{f'(arcsin x)}
[/mm]
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Hallo Pia,
> Aaaalso
> (a) wär dann ja
> [mm](\sqrt[q]{x})'[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(\sqrt[q]{x})}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> muss ich dann für den Nenner die Ableitung von [mm]\sqrt[q]{x}[/mm]
> bestimmen und das dann auflösen?
Nein, das f bezeichnet doch die Umkehrfunktion zu [mm] $\sqrt[q]{x}=f^{-1}(x)$$
[/mm]
Du musst also erstmal $f$ bestimmen, dann die Ableitung davon, also f' und das ganze an der Stelle [mm] $f^{-1}(x)$, [/mm] also an der Stelle [mm] $\sqrt[q]{x}$
[/mm]
>
> der Ansatz für (b) wär dann dementsprechend
> [mm] \underbrace{(arcsin x)'}_{=\left(f^{-1}\right)'(x)} [/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(arcsin x)}[/mm]
Nun wie oben die Inverse f von [mm] $f^{-1}=\arcsin$ [/mm] bestimmen, dann die Ableitung davon an der Stelle [mm] $\arcsin(x))$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
[mm] (\sqrt[q]{x})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(\sqrt[q]{x})}
[/mm]
Die Umkehrfunktion ist dann y = [mm] x^q [/mm] oder? und die Ableitung wär dann [mm] q*x^{q-1}
[/mm]
dementsprechend hätte man dann
[mm] (\sqrt[q]{x})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{q*x^{q-1}}
[/mm]
aber irgendwo muss da jetzt ein Fehler sein, weil das wär ja jetzt [mm] \bruch{1}{q}*x^{-(q-1)}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> [mm](\sqrt[q]{x})'[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(\sqrt[q]{x})}[/mm]
>
> Die Umkehrfunktion ist dann y = [mm]x^q[/mm] oder? und die Ableitung
> wär dann [mm]q*x^{q-1}[/mm]
> dementsprechend hätte man dann
> [mm](\sqrt[q]{x})'[/mm] = [mm]\bruch{1}{q*x^{q-1}}[/mm]
> aber irgendwo muss da jetzt ein Fehler sein, weil das wär
> ja jetzt [mm]\bruch{1}{q}*x^(-(q-1))[/mm]
Du sollst ja auch die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle [mm] $x_0=f^{-1}(x)=\sqrt[q]{x}$ [/mm] betrachten ...
Also [mm] $...=\frac{1}{q\cdot{}x_0^{q-1}}=\frac{1}{q\cdot{}\left(\sqrt[q]{x}\right)^{q-1}}=....$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
acshso, stimmt
[mm] \frac{1}{q\cdot{}x_0^{q-1}}=\frac{1}{q\cdot{}\left(\sqrt[q]{x}\right)^{q-1}}= \bruch{1}{q*\bruch{\sqrt[q]{x}^q}{\sqrt[q]{x}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{q} [/mm] * [mm] \bruch{sgrt[q]{x}}{x}
[/mm]
aber ich komm immmer noch nciht auf das ergebnis...
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Hallo nochmal,
> acshso, stimmt
>
> [mm]\frac{1}{q\cdot{}x_0^{q-1}}=\frac{1}{q\cdot{}\left(\sqrt[q]{x}\right)^{q-1}}= \bruch{1}{q*\bruch{\Wurzel[q]{x}^q}{\Wurzel[q]{x}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{q}[/mm] * [mm]\bruch{Wurzel[q]{x}}{x}[/mm]
>
> aber ich komm immmer noch nciht auf das ergebnis...
das ist kaum zu entziffern:
Schreibe [mm] $\sqrt[q]{x}=x^{\frac{1}{q}}$, [/mm] dann ist [mm] $\left(\sqrt[q]{x}\right)^{q-1}=\left(x^{\frac{1}{q}}\right)^{q-1}=x^{1-\frac{1}{q}}$
[/mm]
Das steht im Nenner, bringe es in den Zähler, dann steht da ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
ok, jetzt hab ichs, mensch war das eine lange geburt!
jetzt müsste ich eigentlich noch das mit dem arcsin beweisen, aber ich glaub wenn ich das jetzt noch mach, bin ich bis morgen früh dran zumal die aufgabe nochmal einen tick schwerer ist....
vielen dank für deine Hilfe!
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Schau doch mal
hier
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Pia90 |
oh, vielen Dank!
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![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
