Umkehrfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Sa 27.12.2008 | | Autor: | nerg |
| Aufgabe 1 | f: [mm] [0,\infty]\rightarrow \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{\sqrt(x)-4}{\sqrt(x)+1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | f: [mm] \IR \setminus\{-4\}\rightarrow \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{x-2}{x+4} [/mm] |
| Aufgabe 3 | f: [mm] [\bruch{2}{3},\infty]\rightarrow \IR
[/mm]
[mm] f(x)=ln(\sqrt{\bruch{4x+3}{3x-2}}) [/mm] |
Ich hoffe mal, dass die Umkehrfunktionen richtig ausgerechnet wurden. Ich bin doch etwas überfragt, ob diese tatsächliche existieren bzw. wie man argumentieren kann, dass diese existieren.
Ich fange also mal an:
1.)
[mm] f^{-1}: \IR \rightarrow [0,\infty]
[/mm]
[mm] x=\bruch{\sqrt(y)-4}{\sqrt(y)+1}
[/mm]
[mm] x(\sqrt(y)+1)=\sqrt(y)-4
[/mm]
[mm] x\sqrt(y)+x=\sqrt(y)-4
[/mm]
[mm] x\sqrt(y)-\sqrt(y)=-4-x
[/mm]
[mm] \sqrt(y)(x-1)=-4-x
[/mm]
[mm] \sqrt(y)=\bruch{-4-x}{x-1}
[/mm]
[mm] y=\bruch{(-4-x)^2}{(x-1)^2}=\bruch{x^2+8x+16}{x^2-2x+1}
[/mm]
[mm] f^{-1}(x)=\bruch{x^2+8x+16}{x^2-2x+1}
[/mm]
[mm] f^{-1}(-1)=1/0 [/mm] nicht def. Widerspruch zu [mm] Df^{-1} [/mm] Umkehrfunktion existiert nicht für Definitionsmenge => existiert überhaupt nicht, oder existiert nur für [mm] f^{-1}: \IR*+ \rightarrow [0,\infty]
[/mm]
bzw. [mm] \IR \setminus [/mm] {-1} [mm] \rightarrow [0,\infty]
[/mm]
Die Definition des Bildes wird aber eingehalten f(1)>=0.
2.)
[mm] f^{-1}: \IR \rightarrow \IR \setminus\{-4\}
[/mm]
[mm] x=\bruch{y-2}{y+4}
[/mm]
x(y+4)=y-2
xy+4x=y-2
4x+2=y-xy
4x+2=y(1-x)
[mm] \bruch{4x+2}{1-x}=y
[/mm]
[mm] f^{-1}(x)=\bruch{4x+2}{1-x}
[/mm]
für y=-4 [mm] -4=\bruch{4x+2}{1-x} [/mm] folgt [mm] x=-\bruch{2}{1} [/mm] ist also keine Nullstelle. Deswegen ist der Auschluß von 4 aus dem Bild nicht notwendig. Jedoch ist die Umkehrfunktion für x=1 nicht definiert: [mm] f^{-1}(1)=6/0 [/mm] undef.
Das gleiche wie bei 1.)
Folgt daraus: Widerspruch zu [mm] Df^{-1} [/mm] Umkehrfunktion existiert nicht für Definitionsmenge => existiert überhaupt nicht, oder existiert nur für [mm] f^{-1}: \IR \setminus{1}\rightarrow \IR
[/mm]
3.)
[mm] f^{-1}: \IR \rightarrow [\bruch{2}{3},\infty]
[/mm]
[mm] x=ln(\sqrt{\bruch{4y+3}{3y-2}})=ln(\sqrt{4y+3})-ln(\sqrt{3y-2})=\bruch{1}{2}ln(4y+3)-\bruch{1}{2}ln(3y-2)
[/mm]
[mm] exp(x)=\bruch{1}{2}((4y+3)-(3y-2))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(4y+3-3y+2)=\bruch{1}{2}(y+5)
[/mm]
2*exp(x)=y+5
2*exp(x)-5=y
[mm] f^{-1}(x)=2*exp(x)-5
[/mm]
[mm] f^{-1}(\bruch{2}{3})=2*e^\bruch{2}{3}-5<0
[/mm]
keine Definitionslücken im eingeschränkten Definitionsbereich feststellbar => Umkehrfunktion existiert
Ach, hatte vergessen, bei etwaigen Lesern dieses Stoffes für ihre Aufwendung der Zeit mich bei Ihnen zu bedanken. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo nerg!
Du hast richtig umgestellt ... da die Ausgangsfunktion nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] abgebildet wird, sondern nur auf [mm] $\left] \ -\infty;+1 \ \right[$ [/mm] .
Von daher ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion exakt der Wertebereich der Ausgangsfunktion. Es gilt also:
[mm] $$f^{-1} [/mm] \ : \ [mm] \left]-\infty;+1\right[ [/mm] \ [mm] \mapsto [/mm] \ [mm] \left[0;+\infty\right[$$
[/mm]
Von daher ist Deine vermeintliche Definitionslücke bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ +1$ gar nicht im Definitionsbereich der Umkehrfunktion vorhanden und macht auch keine Probleme.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 03.01.2009 | | Autor: | nerg |
Hallo Loddar!
Danke für die Antwort.
Bei dieser Funktion ist aber [mm] f(\infty)=1. [/mm] Wieso ist der Wertebereich der Ausgangsfunktion auf <1 beschränkt, wenn doch auch Unendlich im Definitionsbereich zulässig ist?
Bei Aufgabe 2 dasselbe.
Wie kann ich zeigen, dass die Umkehrfunktion existiert? Genügt es sie auszurechnen, wie ich es tat? Oder am besten noch zeigen, dass [mm] f^{-1}(f(x))=x?
[/mm]
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Hallo nerg,
> Hallo Loddar!
> Danke für die Antwort.
>
> Bei dieser Funktion ist aber [mm]f(\infty)=1.[/mm] Wieso ist der
> Wertebereich der Ausgangsfunktion auf <1 beschränkt, wenn
> doch auch Unendlich im Definitionsbereich zulässig ist?
Es ist
[mm]f\left(x\right)=\bruch{\wurzel{x}-4}{\wurzel{x}+1}=\bruch{\wurzel{x}+1-5}{\wurzel{x}+1}=\bruch{\wurzel{x}+1}{\wurzel{x}+1}-\bruch{5}{\wurzel{x}+1}=1-\bruch{5}{\wurzel{x}+1}[/mm]
Jetzt siehst Du, daß die Funktion nur Werte kleiner 1 annimmt.
>
> Bei Aufgabe 2 dasselbe.
>
> Wie kann ich zeigen, dass die Umkehrfunktion existiert?
> Genügt es sie auszurechnen, wie ich es tat? Oder am besten
> noch zeigen, dass [mm]f^{-1}(f(x))=x?[/mm]
Die Funktion f muß in dem betrachteten Intervall monoton sein
(entweder monoton fallend oder monoton steigend).
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Sa 03.01.2009 | | Autor: | nerg |
Alles klar dann, Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo nerg!
Auch hier dasselbe Problem. Der Wertebereich der Ausgangsfunktion ist zu großzügig (bzw. fehlerhaft) angegeben. Es gilt:
$$f \ : \ [mm] \IR\backslash\{-4\} [/mm] \ [mm] \mapsto [/mm] \ [mm] \IR\backslash\{1\}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo nerg!
Hier stimmt Deine Umforumg zur Ermittlung der Umkehrfunktion nicht. Du musst ja bei "e hoch"-nehmen diese Umformung auf die gesamte Seite der Gleichung anwenden.
Ich habe erhalten (ohne Gewähr):
$$y \ = \ [mm] \bruch{2*e^{2x}+3}{3*e^{2x}-4}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Sa 03.01.2009 | | Autor: | nerg |
Hallo Loddar,
ich habe es überprüft. Deine Umkehrfunktion stimmt.
Ich habe nochmal meine Kenntnisse von exp und ln überprüft, neu gerechnet, bin aber IMMER noch nicht auf die richtige Lösung gekommen.
[mm] x=ln(\sqrt{\bruch{4y+3}{3y-2}})=ln(\sqrt{4y+3})-ln(\sqrt{3y-2})=\bruch{1}{2}ln(4y+3)-\bruch{1}{2}ln(3y-2)=\bruch{1}{2}*(ln(4y+3)-ln(3y-2)) [/mm] bis hierhin ist es richtig.
Mit der Multiplikation mit 2 auf beiden Seiten:
[mm] 2x=2*(\bruch{1}{2}*(ln(4y+3)-ln(3y-2)))
[/mm]
[mm]2x=ln(4y+3)-ln(3y-2)[/mm]
wird es schon falsch, oder gebe ich es nur falsch ein?
Nunja, dann beide seite e hoch:
[mm] e^{2x}=e^{ln(4y+3)-ln(3y-2)}
[/mm]
[mm] e^{2x}=exp(ln(4y+3)+(-ln(3y-2)))
[/mm]
[mm]
e^{2x}=exp(ln(4y+3))*exp(-ln(3y-2))
e^{2x}=(4y+3)(-3y-2)
e^{2x}=-12y^2-8y-9y-6
-e^{2x}=12y^2+17y+6
0=12y^2+17y+6+e^{2x}
[/mm]
Und jetzt würde ich mit p/q ran gehen (vorher umformen)? Ist es bis hierher richtig?Was ist falsch?
Danke an den, der mir aus diesem Loch hilft ;)
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Hallo nerg,
> Hallo Loddar,
> ich habe es überprüft. Deine Umkehrfunktion stimmt.
> Ich habe nochmal meine Kenntnisse von exp und ln
> überprüft, neu gerechnet, bin aber IMMER noch nicht auf die
> richtige Lösung gekommen.
>
> [mm]x=ln(\sqrt{\bruch{4y+3}{3y-2}})=ln(\sqrt{4y+3})-ln(\sqrt{3y-2})=\bruch{1}{2}ln(4y+3)-\bruch{1}{2}ln(3y-2)=\bruch{1}{2}*(ln(4y+3)-ln(3y-2))[/mm]
> bis hierhin ist es richtig.
>
> Mit der Multiplikation mit 2 auf beiden Seiten:
> [mm]2x=2*(\bruch{1}{2}*(ln(4y+3)-ln(3y-2)))[/mm]
> [mm]2x=ln(4y+3)-ln(3y-2)[/mm]
> wird es schon falsch, oder gebe ich es nur falsch ein?
>
> Nunja, dann beide seite e hoch:
>
> [mm]e^{2x}=e^{ln(4y+3)-ln(3y-2)}[/mm]
>
> [mm]e^{2x}=exp(ln(4y+3)+(-ln(3y-2)))[/mm]
> [mm]
e^{2x}=exp(ln(4y+3))*exp(-ln(3y-2))
e^{2x}=(4y+3)(-3y-2)
e^{2x}=-12y^2-8y-9y-6
-e^{2x}=12y^2+17y+6
0=12y^2+17y+6+e^{2x}
[/mm]
Diese Umformung stimmt nicht.
Es ist
[mm]e^{-ln(3y-2))}=\bruch{1}{3y-2}[/mm]
>
> Und jetzt würde ich mit p/q ran gehen (vorher umformen)?
> Ist es bis hierher richtig?Was ist falsch?
>
> Danke an den, der mir aus diesem Loch hilft ;)
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Do 08.01.2009 | | Autor: | nerg |
Danke, habs jetzt auch richtig raus!
Solche Tücken habe ich immer im Hinterkopfen vorm Rechnen beim Sich-Vorstellen, aber wenns dann ans Rechnen geht, entschwinden solche Gesetzmäßigkeiten irgendwie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Do 08.01.2009 | | Autor: | nerg |
Habe gerade bemerkt:
Es gibt die Umkehrfunktion von Aufgabe 3.) nicht auf dem angegeben Intervall!
Es war angegeben:
f: [mm] [2/3,\infty[ [/mm] -> R
Das ist falsch.
[mm] f^{-1}(0)=-5 [/mm] ! Das geht ja nicht, wenn [mm] f^{-1}: [/mm] R -> [mm] ]2/3,\infty[ [/mm]
Habe gesehen, dass der limes [mm] f(x)=ln(\bruch{2*\wurzel{3}}{2}). [/mm] Ist schon zu spät, darüber zu sinnieren, warum es so ist. Wirklich ;)
Mit [mm] f^{-1}: ]ln(\bruch{2*\wurzel{3}}{2}),\infty[ [/mm] -> [mm] ]2/3,\infty[ [/mm]
und natürlich f: [mm] ]2/3,\infty[ [/mm] -> [mm] ]ln(\bruch{2*\wurzel{3}}{2}),\infty[
[/mm]
stimmt es dann ;)
Glücklich!
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Hallo nerg,
> Habe gerade bemerkt:
> Es gibt die Umkehrfunktion von Aufgabe 3.) nicht auf dem
> angegeben Intervall!
>
> Es war angegeben:
> f: [mm][2/3,\infty[[/mm] -> R
> Das ist falsch.
>
> [mm]f^{-1}(0)=-5[/mm] ! Das geht ja nicht, wenn [mm]f^{-1}:[/mm] R ->
> [mm]]2/3,\infty[[/mm]
>
> Habe gesehen, dass der limes
> [mm]f(x)=ln(\bruch{2*\wurzel{3}}{2}).[/mm] Ist schon zu spät,
> darüber zu sinnieren, warum es so ist. Wirklich ;)
Ich komm auf etwas anderes:
[mm]\limes_{x\rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=\ln\left(\bruch{2}{\wurzel{3}}\right)[/mm]
>
> Mit [mm]f^{-1}: ]ln(\bruch{2*\wurzel{3}}{2}),\infty[[/mm] ->
> [mm]]2/3,\infty[[/mm]
>
> und natürlich f: [mm]]2/3,\infty[[/mm] ->
> [mm]]ln(\bruch{2*\wurzel{3}}{2}),\infty[[/mm]
>
> stimmt es dann ;)
>
> Glücklich!
>
>
Gruß
MathePower
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