Umkehrfunktionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeige, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion auch bijektiv ist. |
Hallo,
leider habe ich keine Ahnung wie ich das zeigen kann. Ich denke jetzt schon seit Stunden darüber nach. Mir ist ganz klar, dass die Umkehrfunktion bijektiv sein muss, aber wie nur mathematisch beweisen? Für einen Tipp wäre ich absolut dankbar.
Milchschelle
|
|
| |
|
Ein mathematischer Beweis besteht nicht nur aus Rechnungen und Formeln, sondern auch aus Texten in Form von Schlussfolgerungen, Erklärungen und Begründungen. Dies ist so ein Beispiel!
Du musst doch zeigen, dass die Umkehrung
a) eine Funktion ist (was bedeutet das?),
b) surjektiv ist und
c) injektiv ist.
Schreibe für alles einen begründenden Satz auf.
|
|
|
| |
|
Das hilft mir nicht wirklich weiter. Dass f: X-Y geht und [mm] f^{-1} [/mm] dann von Y->X das weiß ich ja. Und dadurch dass f bijektiv ist gibt es für jedes y genau ein x. und bei [mm] f^{-1} [/mm] muss es dann für jedes x genau ein y geben, aber wieso?^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das hilft mir nicht wirklich weiter. Dass f: X-Y geht und
> [mm]f^{-1}[/mm] dann von Y->X das weiß ich ja. Und dadurch dass f
> bijektiv ist gibt es für jedes y genau ein x. und bei
> [mm]f^{-1}[/mm] muss es dann für jedes x genau ein y geben, aber
> wieso?^^
$f: X [mm] \to [/mm] Y$ ist bijektiv nach Voraussetzung. Du sagst selber:
Für jedes $y [mm] \in [/mm] Y$ gibt es daher dann genau ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=y\,.$
[/mm]
Nun betrachte [mm] $f^{-1}:Y \to X\,.$ [/mm] Sei nun $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig, aber fest.
Zu zeigen ist: Es gibt genau ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit [mm] $f^{-1}(y)=x\,.$
[/mm]
Warum gibt es mindestens ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit [mm] $f^{-1}(y)=x$? [/mm] Naja:
[mm] $y:=f(x)\,$ [/mm] tut's! (Warum?)
Und jetzt nimm' an, es gäbe ein weiteres $y' [mm] \in [/mm] Y$ mit [mm] $f^{-1}(y')=x\,.$
[/mm]
Weil $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Funktion ist, gibt es ja auch zu jedem
[mm] $\tilde{x} \in [/mm] X$ genau ein [mm] $\tilde{y} \in [/mm] Y$ mit [mm] $f(\tilde{x})=\tilde{y}\,.$ [/mm]
Bedenke dies, und folgere damit dann einen Widerspruch!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ein mathematischer Beweis besteht nicht nur aus Rechnungen
> und Formeln, sondern auch aus Texten in Form von
> Schlussfolgerungen, Erklärungen und Begründungen. Dies
> ist so ein Beispiel!
>
> Du musst doch zeigen, dass die Umkehrung
> a) eine Funktion ist (was bedeutet das?),
> b) surjektiv ist und
> c) injektiv ist.
na, wenn man es "rein mit Worten" machen will, dann macht man besser
folgendes:
Weil die Funktion bijektiv ist, gibt es für jedes Element aus dem Zielbereich
ein und nur ein Element des Definitionsbereichs, welches die Funktion
auf das Element des Zielbereichs abbildet.
Diesen Satz baut man ein bisschen um, sagt, dass der Definitionsbereich
der Ausgangsfunktion der Zielbereich der Umkehrfunktion ist und dass der
Zielbereich der Ausgangsfunktion der Definitionsbereich der
Umkehrfunktion ist, und ist "mit Worten" fertig.
Ob man dann aber wirklich verstanden hat, was man da gesagt hat, ist
dann wieder eine andere Sache. Es wird schnell klar/deutlich, wenn man
es formal niederschreibt:
Es gilt ja (sogar), dass $f: M [mm] \to [/mm] N$ genau dann bijektiv ist, wenn für alle
$n [mm] \in [/mm] N$ gilt, dass [mm] $f^{-1}(\{n\})$ [/mm] einelementig ist!
(Dabei ist [mm] $f^{-1}(Y)=\{x \in M: f(x) \in Y\}\,,$ [/mm] das [mm] $f^{-1}$ [/mm] sollte in dieser
Notation NICHT als Umkehrfunktion aufgefasst werden. Wenngleich man,
wenn man die zu [mm] $f\,$ [/mm] gehörige Umkehrfunktion nun [mm] $g\,$ [/mm] nennt, dann
durchaus das auch als [mm] $g(\{n\})=\{g(n): n \in N\}$ [/mm] interpretieren dürfte,
weil [mm] $f\,$ [/mm] halt bijektiv ist!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion
> auch bijektiv ist.
eine bijektive Funktion ist, für Mengen [mm] $M,N\,,$ [/mm] eine Funktion $f: M [mm] \to [/mm] N$
mit den Eigenschaften:
1. [mm] $f\,$ [/mm] ist injektiv: Für alle [mm] $m_1,m_2 \in M\,$ [/mm] folgt aus [mm] $f(m_1)=f(m_2)$
[/mm]
schon [mm] $m_1=m_2\,.$
[/mm]
2. [mm] $f\,$ [/mm] ist surjektiv: Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert ein $m [mm] \in [/mm] M$ mit
[mm] $f(m)=n\,.$
[/mm]
(Diese beiden Eigenschaften gelten für [mm] $f\,$ [/mm] nach Voraussetzung!!)
Für eine bijektive Funktion $f: M [mm] \to [/mm] N$ kann man nun eine Funktion
$g: N [mm] \to [/mm] M$ definieren, die folgendes erfüllt:
Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ ist $g(f(m))=m$ (kurz: Es ist mit $g [mm] \circ [/mm] f: M [mm] \to [/mm] M$
gerade $g [mm] \circ f=id_M\,.$)
[/mm]
Für alle $n [mm] \in [/mm] N$ ist $f(g(n))=n$ (kurz: Es ist mit $f [mm] \circ [/mm] g: N [mm] \to [/mm] N$
gerade $f [mm] \circ g=id_N\,.$)
[/mm]
(Diese beiden Eigenschaften charakterisieren eine Umkehrfunktion!)
Diese Funktion [mm] $g\,$ [/mm] (besser [mm] $g=g_f\,$) [/mm] ist eindeutig bestimmt und heißt
Umkehrfunktion zu [mm] $f\,,$ [/mm] man schreibt auch [mm] $f^{-1}:=g\,.$
[/mm]
Und, wenn man nun ein bijektives [mm] $f\,$ [/mm] wie oben hat, dann ist für dieses
[mm] $g=f^{-1}\,$ [/mm] nun zu zeigen, dass es sowohl injektiv als auch surjektiv ist!
(Also: [mm] $g\,$ [/mm] ist injektiv: Seien dazu [mm] $n_1,n_2 \in [/mm] N$ (beachte, dass [mm] $g\,$
[/mm]
den Definitionsbereich [mm] $N\,$ [/mm] hat!) und es gelte [mm] $g(n_1)=g(n_2)\,.$
[/mm]
Folgere nun [mm] $n_1=n_2\,.$ [/mm] (Tipp: Es ist [mm] $n_1=(f \circ g)(n_1)=f(g(n_1))=...$) [/mm]
[mm] $g\,$ [/mm] ist surjektiv: Sei dazu $m [mm] \in M\,.$ [/mm] Wir suchen ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $g(n)=m\,.$ [/mm] (Hier gebe ich nun keinen direkten Tipp, außer, vielleicht mal
dran zu denken, dass $f(m) [mm] \in [/mm] N$ ist!!))
Gruß,
Marcel
> Hallo,
>
> leider habe ich keine Ahnung wie ich das zeigen kann. Ich
> denke jetzt schon seit Stunden darüber nach. Mir ist ganz
> klar, dass die Umkehrfunktion bijektiv sein muss, aber wie
> nur mathematisch beweisen? Für einen Tipp wäre ich
> absolut dankbar.
>
> Milchschelle
|
|
|
|
