Umkehrfunktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.gigi-fans-united.de, http://www.mathe-profis.de/
Aalso...ich schreib Montag ne Klausur in Mathe, und hab jetzt n Problem.....bei Umkehrfunktionen!
Also, normalerweise hat man ja ne Funktion f(x) gegeben. Die muss man dann nach x auflösen und danach die beiden Variablen x und y miteinander vertauschen.
Hier mal ein Bespiel:
f(x) = 4-(6/x), x<0
also
y = 4-(6/x)
<=> x = (4-6)/y
Dann vertauscht man ja beide Variablen, also
y = (4-6)/x , das wäre also die Umkehrfuntkion f(x)quer.
So...man muss ja auch immer ne Definitionsmenge angeben. Weil x<0 sein muss, ist die Definitionsmenge D = [-unendlich;0[
Die Wertemenge ist dementsprechend W = ]4; +unendlich]
Dazu kann man auch noch die Ableitund der Funktion bilden, ob diese monton fallend oder steigend ist.
Hier also f ' (x) = - 6x^-2, das ist kleiner als 0, also monoton fallend.
-----------------------------------------------------
Jetzt meine Frage: Woran kann man denn jetzt genau erkennen, ob die Funktion umkehrbar ist. Daran, dass
1.) die Wertemenge immer in die Definitionsmenge passen muss, da Umkehrfunktion ja heißt, dass jedem y Wert nur EINEM x Wert zugeordnet werden kann.
oder
2.) daran, dass die Ableitung der Funktion monoton fallend/steigend ist
oder
3.) an was ganz anderem!?!?!?!?!?
---------------------------------------------------
*lol* Ich hoffe, ihr habt das kapiert, wie ich das meine, ist nicht so ganz einfach hier am PC sowas zu beschreiben.
Wäre dankbar für Antworten bzw. Lösungen! 
|
|
| |
|
Hallo TranceLady,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hier mal ein Bespiel:
> f(x) = 4-(6/x), x<0
> also
> y = 4-(6/x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> <=> x = (4-6)/y
Wie bist Du darauf gekommen?
> Dann vertauscht man ja beide Variablen, also
> y = (4-6)/x , das wäre also die Umkehrfuntkion f(x)quer.
Das stimmt nicht. Irgendetwas ist außerdem auch bei deiner Klammersetzung oben schiefgelaufen. Also nochmal von vorne:
> y = 4-(6/x)
[mm] $\gdw [/mm] y-4 = [mm] -\frac{6}{x}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 4-y = [mm] \frac{6}{x}$
[/mm]
[mm] $\gdw x\left(4-y\right) [/mm] = 6$
[mm] $\gdw [/mm] x = [mm] \frac{6}{4-y}$
[/mm]
Und jetzt vertauschen wir die Variablen:
[mm] $\Rightarrow \bar{f}\left(x\right) [/mm] = [mm] \frac{6}{4-x}$
[/mm]
Die Ableitung ist dann bei dir auch nicht richtig.
> Jetzt meine Frage: Woran kann man denn jetzt genau
> erkennen, ob die Funktion umkehrbar ist.
Dazu schaust Du erstmal wo $f$ definiert ist. D.h. wo $f$ dir für jeden "Eingabe"wert eine eindeutige "Ausgabe" (also Funktionswert) liefern kann. Dann formst Du wie oben um, und schaust, wo es umgekehrt genauso geht, d.h. welchen Funktionswerten von [mm] $\bar{f}$ [/mm] eindeutige Werte aus der Definitionsmenge von $f$ zugeordnet sind. Das wäre dann die Definitionsmenge von [mm] $\bar{f}$.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
"Dazu schaust Du erstmal wo $ f $ definiert ist. D.h. wo $ f $ dir für jeden "Eingabe"wert eine eindeutige "Ausgabe" (also Funktionswert) liefern kann. Dann formst Du wie oben um, und schaust, wo es umgekehrt genauso geht, d.h. welchen Funktionswerten von $ [mm] \bar{f} [/mm] $ eindeutige Werte aus der Definitionsmenge von $ f $ zugeordnet sind. Das wäre dann die Definitionsmenge von $ [mm] \bar{f} [/mm] $."
Jo genau, also man muss ja erst die Definitionsmenge der Funktion nehmen, die wäre ja in meine Fall [-unendlich;2[, stimmts?
Die Wertemenge für diese Funktion ist ]4; +unendlich]
Ich hatte irgendwogelesen, dass die Definitonsmenge der Funtkion = der Wertemenge der Umkehrfunktion ist und die Wertemenge der Funktion = der Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist, ist doch richtig oder?
Nur wo genau muss ich denn da jetzt gucken? Irgendwie versteh ichs nicht, tut mir Leid. *g*
Weil du hast ja gesagt, ich soll gucken, ob welche Zahlen definiert sind, ist mit der Definitonsmenge ja damit getan. Und deine "Ausgabe" müsste doch dann die Wertemenge sein, also das, was rauskommen kann.
Heißt für mich also, ich muss gucken, ob die Wertemenge sozusagen in die Definitionsmenge "passt".
So, und bei der Umkehrfunktion müsste ich, wie ich es bei dir verstanden habe, auch bei der Wertemenge der Umkehrfunktion gucken, ob diese nun in die Definitionsmenge "passt".
Aber das kann ja irgendwie nicht so ganz, oder? Denn wenn ja D von f = W von $ [mm] \bar{f} [/mm] $ ist und W von f = D von $ [mm] \bar{f} [/mm] $ ist, dann müsste ja beides gleich sein, damit jedes in jedes reinpasst. (Ich glaub das versteht kein Mensch, was ich damit sagen wollte.)
Also, vielleicht könntest du ja von meinem Bespiel jetzt mal weitermachen, also mir sagen, ob sie nun umkehrbar ist oder nicht, und wie genau du das erkannt hast.
|
|
|
| |
|
> Jo genau, also man muss ja erst die Definitionsmenge der
> Funktion nehmen, die wäre ja in meine Fall [-unendlich;2[,
> stimmts?
Du meinst sicherlich [mm] $\left(-\infty,0\right)$. [/mm] Wie kommst Du auf 2? Es gilt doch z.B. $1 [mm] \not< [/mm] 0$ im Widerspruch zu deiner Vorraussetzung $x < 0$. Also muß hier die Schranke entsprechend tiefer gesetzt werden. Und die Unendlichkeit ist unerreichbar. Egal welche noch so große (bzw. noch so kleine Zahl) Du $f$ vorgibst.
> Die Wertemenge für diese Funktion ist ]4; +unendlich]
Fast richtig: [mm] $\left(4,+\infty\color{red}\right)$. [/mm] Ansonsten ist das richtig. Sonst hätten wir bei der Umkehrfunktion im Nenner eine 0 stehen.
> Ich hatte irgendwo gelesen, dass die Definitonsmenge der
> Funktion = der Wertemenge der Umkehrfunktion ist
Die Definitionsmenge von [mm] $g\left(x\right) [/mm] := [mm] x^2$ [/mm] ist [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] wenn wir das nicht künstlich einschränken. Die Wertemenge von $g$ ist [mm] $\mathbb{R}_0^+$. [/mm] Dies ist gleichzeitig auch die Definitionsmenge einer möglichen Umkehrfunktion von $g$. Nämlich [mm] $\bar{g}\left(x\right) [/mm] = [mm] \sqrt{x}$. [/mm] Die Wertemenge von [mm] $\bar{g}$ [/mm] ist [mm] $\mathbb{R}_0^+$.
[/mm]
Du behauptest: Definitonsmenge der Funktion = Wertemenge der Umkehrfunktion. Also:
Definitionsmenge von $g$: [mm] $\mathbb{R}$
[/mm]
Wertemenge von [mm] $\bar{g}$: $\mathbb{R}_0^+$
[/mm]
und [mm] $\mathbb{R} \ne \mathbb{R}_0^+$
[/mm]
Damit ist deine Behauptung durch ein Gegenbeispiel widerlegt.
> und die
> Wertemenge der Funktion = der Definitionsmenge der
> Umkehrfunktion ist, ist doch richtig oder?
Ich denke, das stimmt.
Übrigens scheine ich in meiner vorherigen Antwort noch einen Denkfehler zu haben... Ich schau nochmal nach.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
Jo, erstmal danke soweit.
Allerdings habe ich eben selber nochmal im Internet gesucht und da stand dann dieses hier:
"Wenn eine Funktion in einem Intervall streng monoton ist, dann ist jedem x aus dem Intervall genau ein y zugeordnet und umgekehrt. Somit ist die Funktion in diesem Monotoniebereich umkehrbar. "
Für mich heißt das so viel wie, ich muss die Funktion doch einfach nur ableiten und dann gucken, ob sie eben monoton fallend bzw. steigend ist und daran seh ich dann, ob sie umkehrbar ist oder nicht. Nur dann frage ich mich, wozu ich überhaupt ne Umkehrfunktion bilde, wenn ich die hinterher eh überhaupt nicht mehr gebrauche!
Mein Problem liegt ja eben nicht darin, die Aufgabe an sich auszurechnen...nur wenn eine Fragestellung kommt wie: "Untersuchen sie die Funktion f auf ihre Umkehrbarkeit" , muss ich nach der Rechnung natürlich am Ende sagen, ob sie nun umkehrbar ist oder eben nicht.
Übrigens hattest du recht mit der Definitionsmenge, hatte die Aufgabe bei mir ausm Heft nochmal abgetippt und bin versehentlich in der Zeile verrutscht. *ggg*
Hmm....also irgendwie ist das alles n bisschen kompliziert. Auch etwas blöd, dass wir nur so wenig Aufgaben dazu gerechnet haben und die irgendwie nie richtig besprochen haben, nur immer das Ergebnis vorgelesen und ich dann mitgeschrieben hab, ob die nun umkehrbar ist oder nicht. Nur leider kann ich das nie nachvollziehen. Rechnung war immer richtig, nur der letzte Schritt fehlt mir halt immer.
Naja...vielleicht schaffste es ja noch, nachher nochmal nach zugucken, sonst hab ich das halt morgen in der Klausur nicht und mach nur die Rechnung.
Auf jeden Fall danke schonmal bis hier her.
|
|
|
| |
|
Hi, TranceLady,
> "Wenn eine Funktion in einem Intervall streng monoton ist,
> dann ist jedem x aus dem Intervall genau ein y zugeordnet
> und umgekehrt. Somit ist die Funktion in diesem
> Monotoniebereich umkehrbar. "
Bitte beachte hier zweierlei:
(1) Dieses ist lediglich ein KRITERIUM, das Dir hilft, die Umkehrbarkeit einer Funktion einfacher herauszufinden! (Natürlich gibt's Funktionen - speziell z.B. die "Folgen" - bei denen Du's nicht verwenden kannst! Aber in der 12. Klasse wird man's wohl fast ausschließlich so machen!)
(2) Dieses Kriterium gilt NUR für INTERVALLE! (So ist beispielsweise die Funktion mit dem Funktionserm f(x) = [mm] \bruch{x^{2}-1}{x} [/mm] nur in [mm] ]-\infty;0[ [/mm] oder auch in [mm] ]0;+\infty[ [/mm] umkehrbar,
ABER NICHT in [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] (!!!)
> Für mich heißt das so viel wie, ich muss die Funktion doch
> einfach nur ableiten und dann gucken, ob sie eben monoton
> fallend bzw. steigend ist
ECHT (= STRENG) monoton muss sie sein! Und außerdem musst Du meine obigen Bemerkungen (vor allem die 2.) beachten!
> und daran seh ich dann, ob sie
> umkehrbar ist oder nicht. Nur dann frage ich mich, wozu ich
> überhaupt ne Umkehrfunktion bilde, wenn ich die hinterher
> eh überhaupt nicht mehr gebrauche!
Die werdet Ihr später schon noch brauchen, z.B. innerhalb der Kurvendiskussion! Sei nur nicht so ungeduldig!
> Mein Problem liegt ja eben nicht darin, die Aufgabe an sich
> auszurechnen...nur wenn eine Fragestellung kommt wie:
> "Untersuchen sie die Funktion f auf ihre Umkehrbarkeit" ,
> muss ich nach der Rechnung natürlich am Ende sagen, ob sie
> nun umkehrbar ist oder eben nicht.
Bei der von Dir notierten Fragestellung musst Du den Funktionsterm der Umkehrfunktion tatsächlich nicht ausrechnen! Es reicht, wenn Du feststellst: Ja! Die Funktion ist im vorgegebenen Intervall umkehrbar!
(Oder eben "nicht umkehrbar".)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
"Es reicht, wenn Du feststellst: Ja! Die Funktion ist im vorgegebenen Intervall umkehrbar!
(Oder eben "nicht umkehrbar".)"
Und genau DA liegt ja das Problem!!! WIE stelle ich das fest???
Also, ich glaub irgendwie versteht ihr meine Frage nicht oder ich selber bin zu blöd dafür zu verstehen, wie ihr das meint.
Ich hatte ja am Anfang ein Bespielaufgabe gestellt. Wenn man die jetzt mal weiterführen könnte. Die (berichtigte) Rechnung steht ja schon in einer Antwort von einem Member(hab den Namen leider gerade vergessen).
So, jetzt ist die ganze Rechnung fertig, man hat ne Umkehrfunktion, man hat ne Ableitund, man hat die Definitions und Wertemengen....und JETZT? Jetzt muss ich ja zur Antwort auf die Fragestellung "Untersuchen Sie die Funktion auf ihre Umkehrbarkeit" kommen.
Und genau da liegt ja mein Problem. Ich weiß nicht, wo ich jetzt gucken soll, ob sie umkehrbar ist oder nicht.
Ich glaub ich bin zu doof dafür. :-(
|
|
|
| |
|
Hallo TranceLady,
>
> So, jetzt ist die ganze Rechnung fertig, man hat ne
> Umkehrfunktion, man hat ne Ableitund, man hat die
> Definitions und Wertemengen....und JETZT? Jetzt muss ich ja
> zur Antwort auf die Fragestellung "Untersuchen Sie die
> Funktion auf ihre Umkehrbarkeit" kommen.
>
> Und genau da liegt ja mein Problem. Ich weiß nicht, wo ich
> jetzt gucken soll, ob sie umkehrbar ist oder nicht.
Eine Funktion ist umkehrbar in einem Bereich, wenn sie dort injektiv ist, d.h. jedem x-Wert genau ein y-Wert und umgekehrt zugeordnet ist.
Definition Injektivität:
[mm]\forall \;x_1 \; \ne \;x_2 :\;f\left( {x_1 } \right)\; \ne \;f\left( {x_2 } \right)[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi, TranceLady,
also nochmals ganz von vorne!
Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = [mm] 4-\bruch{6}{x} [/mm] in der Definitionsmenge D = [mm] ]-\infty;0[. [/mm] Zeige, dass die Funktion (in der gegebenen Definitionsmenge) umkehrbar ist.
Lösung: f'(x) = [mm] \bruch{6}{x^{2}}
[/mm]
Nun gilt: f'(x) > 0 für alle x [mm] \in [/mm] D.
Zudem ist D ein Intervall.
Somit ist f in dem Intervall [mm] ]-\infty;0[ [/mm] streng (=echt) monoton zunehmend.
Nach dem Kriterium ist f daher in diesem Intervall umkehrbar.
Schluss, aus, finito!
Die Aufgabe ist damit GELÖST!
Kein Mensch hat verlangt, dass man nun auch noch den Funktionsterm der Umkehrfunktion bestimmt.
Das ist so als wenn Dich einer fragt:
"Hast Du genug Geld, um nach Amerika zu fliegen?"
Antwort: "Ja! Schau hier: Meine Kontoauszüge!"
Das reicht!
Kein Mensch verlangt von Dir, dass Du nur aufgrund der Frage tatsächlich dort hinfliegst!
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 So 23.10.2005 | | Autor: | TranceLady |
Aaaaaaah jo, somit ists also klar. Nur in der Schule hatten wir das immer gemacht, dass man die Umkehrfunktion mit angeben MUSS, somit hat mich das immer etwas verwirrt, dass die jetzt im Prinzip da steht, ohne ne Aufgabe zu haben, also ohne, dass ich sie zum weiterrechen oder für was anderes brauche.
Okay, dankeschön!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 So 23.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Lady
In der Schule steht aber meist nicht nur die Frage ist die Fkt umkehrbar, sondern wenn ja, dann gib die Umkehrfkt an! Dann musst du sie auch angeben!
Gruss leduart
|
|
|
|
