Umkehrfuntion Ashpäre < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 06.04.2006 | | Autor: | ratz |
Hallo,
ich hab eine Gleichung, welche eine "einfache" Ashäre bestimmt:
z(x) = [mm] \bruch{\bruch{x^2}{r}}{1+\wurzel{1-c*(\bruch{x}{r})^2}}
[/mm]
wobei c eine konstante ist und r der konstante Krümmungsradius am Scheitelpunkt der Asphäre.
ich benötige jetzt eine Asphäre mit einer bestimmten höhe: d.h. z gegeben und der durchmesser x ist gesucht:
x(z) = ??
ich bekomm s aber irgendwie nicht hin die gleichung korrekt aufzulösen.
Hat vieleicht von euch jemand ein Mathe programm mit dem man umkehrfuntkionen berechnen kann?
danke und viele grüße ratz
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Hallo ratz!
Ich zeige Dir mal die ersten Schritte (allerdings "zu Fuß" und ohne Programm  ) ...
[mm]z(x) = \bruch{\bruch{x^2}{r}}{1+\wurzel{1-c*\left(\bruch{x}{r}\right)^2}}[/mm]
[mm] $\gdw$ $1+\wurzel{1-c*\left(\bruch{x}{r}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2}{r*z}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\wurzel{1-c*\left(\bruch{x}{r}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2}{r*z}-1$
[/mm]
Nun quadrieren:
[mm] $\Rightarrow$ $1-c*\left(\bruch{x}{r}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{x^2}{r*z}-1\right)^2$
[/mm]
Nach weiterem Zusammenfassen erhältst Du eine sogenannte biquadratische Gleichung, bei der Du $t \ := \ [mm] x^2$ [/mm] substituieren kannst.
Anschließend die (normal-)quadratische Gleichung in $t_$ z.B. mit der  p/q-Formel lösen und am Ende wieder resubstituieren [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{t}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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