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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 09.07.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x,y)=(x^3y,x^2+y^2)^T
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Ableitung von f in (1,1)
b) Folgern sie, dass f in einer Umgebung von (1,1) eine lokale Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] besitzt
c) geben sie eine näherung für [mm] f^{-1}(11/10,2) [/mm] an. |
hi :)
a) [mm] Df=\pmat{ 3 & 1 \\ 2 & 2 }
[/mm]
b) Jetzt gehts los.. ich weiß, dass f stetig diffbar sein muss. Ist es, als Komposition diffbarer Funktionen. Ebenso ist Df(1,1) invertierbar, da voller Rang.
Wie kann ich da weiter argumentieren?
c) Hmm? Also 11/10 ist ein bisschen mehr als 1.. und f bildet (1,1) auf (1,2) ab. Soll ich einfach (1,2) nehmen oder was soll das?
Ich dachte vllt, man könnte das über die Ableitung der Umkehrfunktion machen, aber das ist ja dann eben die Ableitung und nicht nur die Umkehrfunktion. Hilfe ;)
danke euch!
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Hallo kappen,
> Sei [mm]f(x,y)=(x^3y,x^2+y^2)^T[/mm]
> a) Bestimmen Sie die Ableitung von f in (1,1)
> b) Folgern sie, dass f in einer Umgebung von (1,1) eine
> lokale Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] besitzt
> c) geben sie eine näherung für [mm]f^{-1}(11/10,2)[/mm] an.
> hi :)
>
> a) [mm]Df=\pmat{ 3 & 1 \\ 2 & 2 }[/mm]
>
> b) Jetzt gehts los.. ich weiß, dass f stetig diffbar sein
> muss. Ist es, als Komposition diffbarer Funktionen. Ebenso
> ist Df(1,1) invertierbar, da voller Rang.
>
> Wie kann ich da weiter argumentieren?
Im Punkt [mm]\left(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})=\left(1,1,1,2)[/mm] sind die Gleichungen
[mm]x^{3}*y=u[/mm]
[mm]x^{2}+y^{2}=y[/mm]
erfüllt.
Da die Funktionaldeterminante in diesem Punkt verschieden von Null ist.
existieren eindeutig bestimmte stetige Funktionen [mm]x\left(u,v\right), \ y\left(u,v\right)[/mm] mit
[mm]x^{3}\left(u,v\right)*y\left(u,v \right)=u[/mm]
[mm]x^{2}\left(u,v\right)+y^{2}\left(u,v\right)=y[/mm]
> c) Hmm? Also 11/10 ist ein bisschen mehr als 1.. und f
> bildet (1,1) auf (1,2) ab. Soll ich einfach (1,2) nehmen
> oder was soll das?
> Ich dachte vllt, man könnte das über die Ableitung der
> Umkehrfunktion machen, aber das ist ja dann eben die
> Ableitung und nicht nur die Umkehrfunktion. Hilfe ;)
Nun, Du brauchst die Ableitungrn der Funktionen [mm]x\left(u,v\right), \ y\left(u,v\right)[/mm] an der Stelle [mm](1,2)[/mm]
Diese erhältst Du, wenn Du obiges Gleichungsystem nach u und v differenzierst.
Dann ist
[mm]x\left(u,v\right)\ \approx x\left(u_{0},v_{0}\right)+x_{u} \left(u_{0},v_{0}\right)*\left(u-u_{0}\right)+x_{v} \left(u_{0},v_{0}\right)*\left(v-v_{0}\right)[/mm]
[mm]y\left(u,v\right)\ \approx y\left(u_{0},v_{0}\right)+y_{u} \left(u_{0},v_{0}\right)*\left(u-u_{0}\right)+y_{v} \left(u_{0},v_{0}\right)*\left(v-v_{0}\right)[/mm]
>
> danke euch!
Gruss
MathePower
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