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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Habe heut gelernt, das ich ne Umkerfunktion so bilde, indem ich zuerst nach"x" umstelle, und dann x und y "vertausche".
Wenn ich jetzt einfach mal ne Aufgabe nehme.
Bsp.
y=2x+10
2x=y-10
[mm] x=\bruch{y}{2}-5
[/mm]
Also wäre die "Umkehrfunktion" von y=2x+10
[mm] y=\bruch{x}{2}-5
[/mm]
wäre das korrekt?
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> Habe heut gelernt, das ich ne Umkerfunktion so bilde, indem
> ich zuerst nach"x" umstelle, und dann x und y
> "vertausche".
> Wenn ich jetzt einfach mal ne Aufgabe nehme.
> Bsp.
>
> y=2x+10
> 2x=y-10
> [mm]x=\bruch{y}{2}-5[/mm]
>
> Also wäre die "Umkehrfunktion" von y=2x+10
> [mm]y=\bruch{x}{2}-5[/mm]
> wäre das korrekt?
Ja. Zeichne dir zur Kontrolle die beiden Graphen und
überzeuge dich davon, dass sie spiegelbildlich zuein-
ander sind bezüglich der Spiegelachse s: y=x .
Weiteres Beispiel gefällig ?
Nimm mal die Funktion f mit [mm] f(x)=y=\frac{4\,x-10}{x-4}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Hab das jetzt mal schnell ohne "Skizze" gemacht.
[mm] y=\bruch{4x-10}{x-4}
[/mm]
y(x-4)=4x-10
xy-4y=4x-10
0=xy-4y-4x+10
0=10+x(y-4)-4y
[mm] x=\bruch{-10+4y}{y-4}
[/mm]
Umkehrfunktion:
[mm] y=\bruch{-10+4x}{x-4}
[/mm]
müsste stimmen, oder?
Und dann habe ich heut in diesem zusammenhang gehört, irgendwas mit arcsinx (und da wurden irgendwie die zahlen 1;-1 erwähnt) das das dann irgendwie "anders" bzw. "kompliziert" ist....
kann mich aber auch irren.
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Hallo,
ja, die Umkehrfunktion ist richtig!
Zu deinem arcsin x -Problem kann ich leider nichts sagen.
Viel Spaß,
Roland.
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> Hab das jetzt mal schnell ohne "Skizze" gemacht.
> [mm]y=\bruch{4x-10}{x-4}[/mm]
> y(x-4)=4x-10
> xy-4y=4x-10
> 0=xy-4y-4x+10
> 0=10+x(y-4)-4y
> [mm]x=\bruch{-10+4y}{y-4}[/mm]
>
> Umkehrfunktion:
> [mm]y=\bruch{-10+4x}{x-4}[/mm]
>
> müsste stimmen, oder?
Ja. Und hast du gemerkt, dass diese Umkehrfunktion
mit der gegebenen Funktion übereinstimmt ?
Dies ist natürlich ein Spezialfall. Er bedeutet, dass
der Graph selbstsymmetrisch ist bezüglich der
Spiegelgeraden s mit der Gleichung y=x .
Vielleicht machst du ja die Zeichnung doch noch.
> Und dann habe ich heut in diesem zusammenhang gehört,
> irgendwas mit arcsinx (und da wurden irgendwie die zahlen
> 1;-1 erwähnt) das das dann irgendwie "anders" bzw.
> "kompliziert" ist....
> kann mich aber auch irren.
Falls es der Lehrer sein sollte, der gesagt hat, das
sei kompliziert, dann war dies ein pädagigischer
Fehler, so genannte Demotivation.
Schau dir den Graph der Sinusfunktion an: eine
Wellenlinie, die periodisch auf und ab geht.
Jeder Funktionswert y, der zwischen -1 und +1
liegt, kommt unendlich oft vor. Zum Beispiel
gehören zum Sinuswert y=0.5 die unendlich
vielen x-Werte [mm] x_0=30^{\circ}=\pi/6, x_1=150^{\circ}=5\,\pi/6, x_3, x_4, [/mm] ...
Das ist zunächst unpraktisch, um eine Umkehr-
funktion zu definieren. Für eine solche müssten
wir jedem möglichen y-Wert einen ganz bestimm-
ten x-Wert zuordnen. Nun, das können wir leicht
haben, wenn wir aus der Sinuskurve nur das
Stück zwischen [mm] x=-90^{\circ} [/mm] und [mm] x=90^{\circ}, [/mm] im Bogenmaß
zwischen [mm] x=-\pi/2 [/mm] und [mm] x=+\pi/2 [/mm] behalten und den
Rest wegschneiden. Was übriggeblieben ist, ist
eine S-förmige, monoton steigende Kurve vom
Punkt [mm] A(-\pi/2/-1) [/mm] über O(0/0) zu [mm] B(+\pi/2/+1).
[/mm]
Die Sinusfunktion bildet das Intervall [mm] [-\pi/2;+\pi/2]
[/mm]
umkehrbar eindeutig auf das Intervall [-1;+1] ab.
Kehrt man diese Zuordnung um, hat man die
arcsin-Funktion, welche jedem Zahlenwert y im
Intervall [-1;+1] einen bestimmten Wert im
Intervall [mm] [-\pi/2;+\pi/2] [/mm] zuordnet, eben den in diesem
Intervall liegenden Winkel x, dessen Sinuswert
gleich y ist. Man kann dann wieder die Rolle von
x und y vertauschen, um die "übliche" Rollen-
verteilung mit x als Eingabewert und y als
Ergebniswert der Funktion zu haben: y=arcsin(x).
Beispiel: [mm] arcsin(0.5)=+\pi/2=30^{\circ}
[/mm]
LG Al-Chw.
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