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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 18.05.2009 | | Autor: | mona85 |
| Aufgabe | Sei [mm] \gamma [/mm] eine geschlossene glatte Kurve und [mm] n(\gamma, [/mm] z) die Umlaufzahl.
Zeige:
a) [mm] n(\gamma, [/mm] z) =0 für alle z in der unbeschränkten Komponente von [mm] \IC \backslash |\gamma|.
[/mm]
b) ist [mm] z\not\in |\gamma| [/mm] und [mm] \overline{\gamma}(t) [/mm] = z+ [mm] \bruch{\gamma(t)-z}{|\gamma(t)-z|}, [/mm] dann gilt [mm] n(\gamma, [/mm] z) = [mm] n(\overline{\gamma}, [/mm] z). |
Ich weiss, dass ja [mm] n(\gamma, [/mm] z) = [mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{\delta - z} d\delta} [/mm] und im Inneren immer konstant und ganzzahlig ist. Allerdings müssen wir für die a) ja das Äußere betrachten,
hat da jemand einen Tipp wie ich herangehen kann?
Bei b) weiss ich auch nicht, wie ich da loslegen kann.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:36 Di 19.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\gamma[/mm] eine geschlossene glatte Kurve und [mm]n(\gamma,[/mm] z)
> die Umlaufzahl.
> Zeige:
> a) [mm]n(\gamma,[/mm] z) =0 für alle z in der unbeschränkten
> Komponente von [mm]\IC \backslash |\gamma|.[/mm]
> b) ist [mm]z\not\in |\gamma|[/mm]
> und [mm]\overline{\gamma}(t)[/mm] = z+
> [mm]\bruch{\gamma(t)-z}{|\gamma(t)-z|},[/mm] dann gilt [mm]n(\gamma,[/mm] z)
> = [mm]n(\overline{\gamma},[/mm] z).
>
> Ich weiss, dass ja [mm]n(\gamma,[/mm] z) = [mm]\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{\delta - z} d\delta}[/mm]
> und im Inneren immer konstant und ganzzahlig ist.
> Allerdings müssen wir für die a) ja das Äußere betrachten,
> hat da jemand einen Tipp wie ich herangehen kann?
Also [mm] $n(\gamma, [/mm] z)$ ist als Funktion in $z$ stetig und auf der unbeschraenkten Komponente ebenfalls ganzzahlig. Zeige [mm] $\lim_{z\to\infty} n(\gamma, [/mm] z) = 0$; daraus folgt dass [mm] $n(\gamma, [/mm] z)$ auf der unbeschraenkten Komponente identisch 0 ist.
> Bei b) weiss ich auch nicht, wie ich da loslegen kann.
Betrachte $g(t, [mm] \lambda) [/mm] = z + [mm] \frac{\gamma(t) - z}{\lambda |\gamma(t) - z| + (1 - \lambda)}$. [/mm] Dann gilt $g(t, 0) = [mm] \gamma(t)$ [/mm] und $g(t, 1) = [mm] \overline{\gamma}(t)$. [/mm] Weiterhin ist $g$ stetig und somit auch [mm] $h(\lambda) [/mm] := [mm] n(g(\bullet, \lambda), [/mm] z)$ stetig in [mm] $\lambda$ [/mm] (das musst du zeigen, und ebenso dass dies wohldefiniert ist). Da $h$ nur ganzzahlige Werte annimmt, muss.... und hier darfst du selber ansetzen.
LG Felix
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Hi!
Ich hänge auch an der Aufgabe und komm nicht so recht weiter.
Bei der a) würde ich aus dem Bauch heraus mit dem Cauchyschen Intergralsatz für konvexe Gebiete rangehen, ich weis aber nicht wie...
GREETz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Fr 22.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Felix hat doch bereits eine Lösung skizziert, wo ist das Problem?
Gruß, Robert
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Hi!
OK, betrachte den Limes des Integrals für die Windungszahl.
Darf ich bei Kurvenintegralen den Limes ins Integral ziehen?? dann müsste es doch wegen der geschlossenheit der Kurve glattgehen, oder?... Sonst steh ich ein wenig aufm Schlauch.
GREETz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Fr 22.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Darf ich bei Kurvenintegralen den Limes ins Integral
> ziehen?? dann müsste es doch wegen der geschlossenheit der
> Kurve glattgehen, oder?
Kann man machen... Das Bild von $\gamma$ ist ja beschränkt wegen der Glattheit. Aber da muss man schon begründen warum das geht, z.B. mit dem Satz von Lebesgue. Oder man sieht sofort, dass
$$\left|\int_\gamma\frac{1}{\zeta-z}\ d\zeta\right|\le\int_0^1\left\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}\ dt\right|\le\frac{L(\gamma)}{\operatorname{dist}(z,\gamma([0,1]))}\to 0\quad\text{für }z\to\infty$$ Wie gesagt... entscheidend ist, dass $\gamma(t)-z$ dem Betrage nach beliebig groß wird.
Gruß, Robert
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Hi!
Der Tip bringt mich schon sehr viel weiter, jettzt passt fast alles.
Nur an der wohldefiniertheit von g hänge ich fest.
Ich bekomme als mögliche Definitionslücken raus:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-|\gamma(t)-z|}
[/mm]
Nun ist [mm] |\gamma(t)-z|>0.
[/mm]
Selbst wenn ich [mm] \lambda \in [/mm] [0,1] einschränke geht das für [mm] |\gamma(t)-z|>1 [/mm] ja irgendwann schief, denn ich lande wieder in [0,1] und hätte somit eine Definitionslücke.
Hat jemand einen Tip?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Sa 23.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Denk nochmal nach: wenn [mm] $r:=|\gamma(t)-z|>0$ [/mm] ist, kann dann [mm] $\frac{1}{1-r}$ [/mm] jemals in [0,1] liegen?
Gruß, Robert
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Wie war das noch gleich mit dem Wald und den Bäumen...
Vielen Dank, war die ganze Zeit betragsmäßig am denken...oder auch eben nicht am denken 
Muchas gracias
GREETz
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