Umlaufzahl geschlossene Kurve < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Es sei [mm] \gamma_N [/mm] eine geschlossene [mm] C^1-Kurve [/mm] in [mm] \IC [/mm] , [mm] z_0 \in \IC [/mm] \ [mm] Bild(\gamma).
[/mm]
[mm] \gamma_N [/mm] sei gegeben durch:
[mm] [0,N]\to \IC
[/mm]
[mm] t\mapsto e^{2\pi it}
[/mm]
[mm] \nu(\gamma,0)=N
[/mm]
Berechne die Umlaufszahl [mm] \nu(\gamma,z_0) [/mm] von [mm] \gamma [/mm] um [mm] z_0 [/mm] . |
Hallo!
Also, das Problem: ich kenne die Formel für die Berechnung der Umlaufszahl; allerdings kann ich das Ergebnis in meinem Skript nicht nachvollziehen.
Irgendwas mache ich also falsch.
Es wäre super, wenn ihr mir sagen könntet, wo mein Fehler ist!
Mein Ansatz:
Die Umlaufszahl [mm] \nu(\gamma,z_0) [/mm] berechnet sich wie folgt:
[mm] \nu(\gamma,z_0):= \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z-z_0}dz}
[/mm]
Aus der Angabe [mm] \nu(\gamma,0)=N [/mm] (siehe Aufgabe) schließe ich, dass [mm] z_0=0.
[/mm]
Außerdem weiß ich:
[mm] \integral_{\gamma}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{\gamma(t)*\gamma'(t)dt} [/mm] für [mm] \gamma(a)=Anfangspunkt, \gamma(b) [/mm] Endpunkt der Kurve
Nun rechne ich:
[mm] \nu(\gamma_N,z_0)= \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-z_0}dz}=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-0}dz}=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2\pi i}\integral_{0}^{N}{\bruch{1}{e^{2\pi it}} * e^{2\pi it} * 2\pi i} [/mm] (das hinter dem e sollte hochgestellt sein, weiß nicht, warum das nicht funktioniert)
(Kommentar Moderator Marcel: Hab's geändert Exponenten werden (in LateX) in geschweiften Klammern geschrieben; klicke auch mal auf den Quelltext oder auf die Formel selbst!)
Wenn ich jetzt kürze, hab ich aber nur noch 1 im Integral stehen, was dann integriert N ergibt.
Wo ist der Fehler?
Im Skript steht nur:
[mm] \integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-z_0} dz} [/mm] = [mm] N2\pi [/mm] i
[mm] \nu(\gamma_N,z_0)=N
[/mm]
für [mm] z_0<1 [/mm] (also IM Kreis)
Wie kommt man denn darauf?
Sorry, ich steh total auf dem Schlauch...
bin dankbar für Tipps!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 20.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\gamma_N[/mm] eine geschlossene [mm]C^1-Kurve[/mm] in [mm]\IC[/mm] , [mm]z_0 \in \IC[/mm]
> \ [mm]Bild(\gamma).[/mm]
> [mm]\gamma_N[/mm] sei gegeben durch:
> [mm][0,N]\to \IC[/mm]
> [mm]t\mapsto e^{2\pi it}[/mm]
>
> [mm]\nu(\gamma,0)=N[/mm]
>
> Berechne die Umlaufszahl [mm]\nu(\gamma,z_0)[/mm] von [mm]\gamma[/mm] um [mm]z_0[/mm]
> .
>
> Hallo!
>
> Also, das Problem: ich kenne die Formel für die Berechnung
> der Umlaufszahl; allerdings kann ich das Ergebnis in meinem
> Skript nicht nachvollziehen.
>
> Irgendwas mache ich also falsch.
> Es wäre super, wenn ihr mir sagen könntet, wo mein
> Fehler ist!
>
> Mein Ansatz:
>
> Die Umlaufszahl [mm]\nu(\gamma,z_0)[/mm] berechnet sich wie folgt:
> [mm]\nu(\gamma,z_0):= \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z-z_0}dz}[/mm]
>
> Aus der Angabe [mm]\nu(\gamma,0)=N[/mm] (siehe Aufgabe) schließe
> ich, dass [mm]z_0=0.[/mm]
> Außerdem weiß ich:
> [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{\gamma(t)*\gamma'(t)dt}[/mm]
Da hast Du Dich wahrscheinlich verschrieben. Korrekt:
[mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*\gamma'(t)dt}[/mm]
> für [mm]\gamma(a)=Anfangspunkt, \gamma(b)[/mm] Endpunkt der Kurve
>
> Nun rechne ich:
> [mm]\nu(\gamma_N,z_0)= \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-z_0}dz}=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-0}dz}=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{0}^{N}{\bruch{1}{e^{2\pi it}} * e^{2\pi it} * 2\pi i}[/mm]
> (das hinter dem e sollte hochgestellt sein, weiß nicht,
> warum das nicht funktioniert)
>
> (Kommentar Moderator Marcel: Hab's geändert Exponenten
> werden (in LateX) in geschweiften Klammern geschrieben;
> klicke auch mal auf den Quelltext oder auf die Formel
> selbst!)
>
> Wenn ich jetzt kürze, hab ich aber nur noch 1 im Integral
> stehen, was dann integriert N ergibt.
> Wo ist der Fehler?
>
> Im Skript steht nur:
> [mm]\integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-z_0} dz}[/mm] = [mm]N2\pi[/mm] i
> [mm]\nu(\gamma_N,z_0)=N[/mm]
>
> für [mm]z_0<1[/mm] (also IM Kreis)
Du meinst sicher: [mm]|z_0|<1[/mm]
>
> Wie kommt man denn darauf?
Die Umlaufzahl ist konstant auf jeder Zusammenhangskomponente von $ [mm] \IC \setminus Bild(\gamma). [/mm] $
In Deinem Fall hat $ [mm] \IC \setminus Bild(\gamma) [/mm] $ die beiden Zusammenhangskomponenten
[mm] $C_1=\{z \in \IC: |z|<1 \}$ [/mm] und [mm] $C_2=\{z \in \IC: |z|>1 \}$ [/mm]
Für [mm] z_0 \in C_1 [/mm] ist also
$ [mm] \nu(\gamma,0)= \nu(\gamma,z_0)$
[/mm]
und für [mm] z_0 \in C_2 [/mm] ist
[mm] $\nu(\gamma,z_0)=0$ [/mm] (warum ?)
FRED
>
> Sorry, ich steh total auf dem Schlauch...
> bin dankbar für Tipps!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Casy |
> > Es sei [mm]\gamma_N[/mm] eine geschlossene [mm]C^1-Kurve[/mm] in [mm]\IC[/mm] , [mm]z_0 \in \IC[/mm]
> > \ [mm]Bild(\gamma).[/mm]
> > [mm]\gamma_N[/mm] sei gegeben durch:
> > [mm][0,N]\to \IC[/mm]
> > [mm]t\mapsto e^{2\pi it}[/mm]
> >
> > [mm]\nu(\gamma,0)=N[/mm]
> >
> > Berechne die Umlaufszahl [mm]\nu(\gamma,z_0)[/mm] von [mm]\gamma[/mm] um [mm]z_0[/mm]
> > .
> >
> > Hallo!
> >
> > Also, das Problem: ich kenne die Formel für die Berechnung
> > der Umlaufszahl; allerdings kann ich das Ergebnis in meinem
> > Skript nicht nachvollziehen.
> >
> > Irgendwas mache ich also falsch.
> > Es wäre super, wenn ihr mir sagen könntet, wo mein
> > Fehler ist!
> >
> > Mein Ansatz:
> >
> > Die Umlaufszahl [mm]\nu(\gamma,z_0)[/mm] berechnet sich wie folgt:
> > [mm]\nu(\gamma,z_0):= \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z-z_0}dz}[/mm]
>
> >
> > Aus der Angabe [mm]\nu(\gamma,0)=N[/mm] (siehe Aufgabe) schließe
> > ich, dass [mm]z_0=0.[/mm]
> > Außerdem weiß ich:
> > [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{\gamma(t)*\gamma'(t)dt}[/mm]
>
>
>
> Da hast Du Dich wahrscheinlich verschrieben. Korrekt:
>
>
> [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma(t))*\gamma'(t)dt}[/mm]
Richtig, verschrieben. Tschuldigung.
>
>
>
> > für [mm]\gamma(a)=Anfangspunkt, \gamma(b)[/mm] Endpunkt der Kurve
> >
> > Nun rechne ich:
> > [mm]\nu(\gamma_N,z_0)= \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-z_0}dz}=[/mm]
>
> >
> > [mm]=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-0}dz}=[/mm]
>
> >
> > [mm]=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{0}^{N}{\bruch{1}{e^{2\pi it}} * e^{2\pi it} * 2\pi i}[/mm]
> > (das hinter dem e sollte hochgestellt sein, weiß nicht,
> > warum das nicht funktioniert)
> >
> > (Kommentar Moderator Marcel: Hab's geändert Exponenten
> > werden (in LateX) in geschweiften Klammern geschrieben;
> > klicke auch mal auf den Quelltext oder auf die Formel
> > selbst!)
> >
> > Wenn ich jetzt kürze, hab ich aber nur noch 1 im Integral
> > stehen, was dann integriert N ergibt.
> > Wo ist der Fehler?
> >
> > Im Skript steht nur:
> > [mm]\integral_{\gamma_N}{\bruch{1}{z-z_0} dz}[/mm] = [mm]N2\pi[/mm] i
> > [mm]\nu(\gamma_N,z_0)=N[/mm]
> >
> > für [mm]z_0<1[/mm] (also IM Kreis)
>
>
> Du meinst sicher: [mm]|z_0|<1[/mm]
>
auch hier: genau das mein ich. Verschrieben.
> >
> > Wie kommt man denn darauf?
>
> Die Umlaufzahl ist konstant auf jeder
> Zusammenhangskomponente von [mm]\IC \setminus Bild(\gamma).[/mm]
>
> In Deinem Fall hat [mm]\IC \setminus Bild(\gamma)[/mm] die beiden
> Zusammenhangskomponenten
>
> [mm]C_1=\{z \in \IC: |z|<1 \}[/mm] und [mm]C_2=\{z \in \IC: |z|>1 \}[/mm]
>
> Für [mm]z_0 \in C_1[/mm] ist also
>
> [mm]\nu(\gamma,0)= \nu(\gamma,z_0)[/mm]
>
> und für [mm]z_0 \in C_2[/mm] ist
>
> [mm]\nu(\gamma,z_0)=0[/mm] (warum ?)
Weil meine Kurve gegeben ist als ein Kreis um 0 mit dem Radius 1
( [mm] t\mapsto e^{2\pi it} [/mm] )
Wenn |z|>1 bedeutet das, dass z -umgangssprachlich- weiter als 1 von 0 weg ist. Somit wird z von der Kurve 0-mal umlaufen (da die Kurve nur alle z mit |z|<1 genau einmal umläuft).
Richtig so?
Nachfrage: Dann stimmt meine Rechnung oben ja doch, oder?
Wenn ich integriere und N=1 einsetze, kommt ja gerade 1 raus (für |z|<1)
Wäre super, wenn du nochmal korrigieren oder bestätigen könntest, was ich mir überlege.
Leider kann ich erst morgen wieder reinschauen, weil ich jetzt weg muss.
Gruß!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Do 21.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten: N [mm] \in \IN, [/mm] $ [mm] \gamma:[0,N] \to \IC$, $\gamma(t)=e^{2 \pi it}$
[/mm]
Ist [mm] $|z_0|<1$, [/mm] so umläuft [mm] \gamma [/mm] den Punkt [mm] z_0 [/mm] gerade N mal
Ist [mm] $|z_0|>1, [/mm] so umläuft [mm] \gamma [/mm] den Punkt [mm] z_0 [/mm] 0 mal
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 21.04.2011 | | Autor: | Casy |
> Wir hatten: N [mm]\in \IN,[/mm] [mm]\gamma:[0,N] \to \IC[/mm],
> [mm]\gamma(t)=e^{2 \pi it}[/mm]
>
> Ist [mm]|z_0|<1[/mm], so umläuft [mm]\gamma[/mm] den Punkt [mm]z_0[/mm] gerade N
> mal
>
> Ist [mm]$|z_0|>1,[/mm] so umläuft [mm]\gamma[/mm] den Punkt [mm]z_0[/mm] 0 mal
>
> FRED
Danke für die Antwort. ehrlich gesagt, bin ich mir nicht ganz sicher, was du mit der Antwort sagen willst.
Ich denke, ich habe es richtig verstanden, oder?
N für [mm] |z_0|<1 [/mm] kommt gerade heraus, wenn ich das o.g.Integral ausrechne.... das ist auch gut so.
Bekomm ich nochmal ein kleines Feedback bitte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Do 21.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Wir hatten: N [mm]\in \IN,[/mm] [mm]\gamma:[0,N] \to \IC[/mm],
> > [mm]\gamma(t)=e^{2 \pi it}[/mm]
> >
> > Ist [mm]|z_0|<1[/mm], so umläuft [mm]\gamma[/mm] den Punkt [mm]z_0[/mm] gerade N
> > mal
> >
> > Ist [mm]$|z_0|>1,[/mm] so umläuft [mm]\gamma[/mm] den Punkt [mm]z_0[/mm] 0 mal
> >
> > FRED
>
> Danke für die Antwort. ehrlich gesagt, bin ich mir nicht
> ganz sicher, was du mit der Antwort sagen willst.
Nochmal:
[mm] \nu(\gamma,z_0)=N, [/mm] falls [mm] |z_0|<1 [/mm] und [mm] \nu(\gamma,z_0)=0, [/mm] falls [mm] |z_0|>1
[/mm]
FRED
> Ich denke, ich habe es richtig verstanden, oder?
>
> N für [mm]|z_0|<1[/mm] kommt gerade heraus, wenn ich das
> o.g.Integral ausrechne.... das ist auch gut so.
>
> Bekomm ich nochmal ein kleines Feedback bitte?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Do 21.04.2011 | | Autor: | Casy |
> > > Wir hatten: N [mm]\in \IN,[/mm] [mm]\gamma:[0,N] \to \IC[/mm],
> > > [mm]\gamma(t)=e^{2 \pi it}[/mm]
> > >
> > > Ist [mm]|z_0|<1[/mm], so umläuft [mm]\gamma[/mm] den Punkt [mm]z_0[/mm] gerade N
> > > mal
> > >
> > > Ist [mm]$|z_0|>1,[/mm] so umläuft [mm]\gamma[/mm] den Punkt [mm]z_0[/mm] 0 mal
> > >
> > > FRED
> >
> > Danke für die Antwort. ehrlich gesagt, bin ich mir nicht
> > ganz sicher, was du mit der Antwort sagen willst.
>
> Nochmal:
>
> [mm]\nu(\gamma,z_0)=N,[/mm] falls [mm]|z_0|<1[/mm] und [mm]\nu(\gamma,z_0)=0,[/mm]
> falls [mm]|z_0|>1[/mm]
>
> FRED
>
OK, d.h. dass das, was ich oben geschrieben habe, dass [mm] \gamma [/mm] jedes [mm] z_0 [/mm] mit [mm] |z_0|<1 [/mm] "genau einmal" umläuft, falsch ist. [mm] \gamma [/mm] umläuft jedes [mm] z_0 [/mm] mit [mm] |z_0|<1 [/mm] genau N mal.
Jetzt hab ich's. Oder?
Danke für deine Geduld!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Do 21.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Wir hatten: N [mm]\in \IN,[/mm] [mm]\gamma:[0,N] \to \IC[/mm],
> > > > [mm]\gamma(t)=e^{2 \pi it}[/mm]
> > > >
> > > > Ist [mm]|z_0|<1[/mm], so umläuft [mm]\gamma[/mm] den Punkt [mm]z_0[/mm] gerade N
> > > > mal
> > > >
> > > > Ist [mm]$|z_0|>1,[/mm] so umläuft [mm]\gamma[/mm] den Punkt [mm]z_0[/mm] 0 mal
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > Danke für die Antwort. ehrlich gesagt, bin ich mir nicht
> > > ganz sicher, was du mit der Antwort sagen willst.
> >
> > Nochmal:
> >
> > [mm]\nu(\gamma,z_0)=N,[/mm] falls [mm]|z_0|<1[/mm] und [mm]\nu(\gamma,z_0)=0,[/mm]
> > falls [mm]|z_0|>1[/mm]
> >
> > FRED
> >
> OK, d.h. dass das, was ich oben geschrieben habe, dass
> [mm]\gamma[/mm] jedes [mm]z_0[/mm] mit [mm]|z_0|<1[/mm] "genau einmal" umläuft,
> falsch ist. [mm]\gamma[/mm] umläuft jedes [mm]z_0[/mm] mit [mm]|z_0|<1[/mm] genau N
> mal.
>
> Jetzt hab ich's. Oder?
Ja
FRED
> Danke für deine Geduld!
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Casy |
Na dann nochmal vielen Dank!
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