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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mo 03.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es sei a:= [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k-1}{k} [/mm] die Summe der alternierenden harmonischen Reihe.
(i) Zeigen Sie, dass a [mm] \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
(ii) Beweisen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Umordnung:
[mm] 1+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{7}-\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}++--.... [/mm] = a |
Hallo.
Wegen dem Leibnis-Kriterium weiß ich bei (i), dass die Reihe konvergiert, jedoch weiß ich nicht, wie ich das zeigen kann.
Bei (ii) habe ich auch keine Idee., wie ich zeigen kann, dass die Umordnung gegen a konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Es sei a:= [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k-1}{k}[/mm] die Summe der alternierenden harmonischen Reihe.
So wie es da steht, ist die Reihe nicht konvergent!
Möchtest du Exponenten mit mehr als einer Zahl darstellen, setzte den gesamten Exponenten in geschweifte Klammern.
Es soll wohl:
[mm] $a:=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}$ [/mm]
heißen.
Korrigier das bitte.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei a:= [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k-1}{k}[/mm] die
> Summe der alternierenden harmonischen Reihe.
>
> (i) Zeigen Sie, dass a [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> (ii) Beweisen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden
> Umordnung:
>
> [mm]1+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{7}-\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}++--....[/mm]
> = a
> Hallo.
>
> Wegen dem Leibnis-Kriterium weiß ich bei (i), dass die
> Reihe konvergiert, jedoch weiß ich nicht, wie ich das
> zeigen kann.
Die Reihe lautet wohl so:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] $.
Das hat Gono schon gesagt.
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium
unter "Abschätzung des Grenzwerts".
>
> Bei (ii) habe ich auch keine Idee., wie ich zeigen kann,
> dass die Umordnung gegen a konvergiert.
Vergleiche mal die Teilsummenfolge von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] mit der Teilsummenfolge von
$ [mm] 1+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{7}-\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}++--.... [/mm] $
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:21 Mo 03.06.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Es sei a:= [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k-1}{k}[/mm] die
> > Summe der alternierenden harmonischen Reihe.
> >
> > (i) Zeigen Sie, dass a [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > (ii) Beweisen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden
> > Umordnung:
> >
> >
> [mm]1+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{7}-\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}++--....[/mm]
> > = a
> > Hallo.
> >
> > Wegen dem Leibnis-Kriterium weiß ich bei (i), dass die
> > Reihe konvergiert, jedoch weiß ich nicht, wie ich das
> > zeigen kann.
>
>
> Die Reihe lautet wohl so:
>
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm].
>
> Das hat Gono schon gesagt.
Ja, da habe ich nicht aufgepasst.
>
> Schau mal hier:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium
>
> unter "Abschätzung des Grenzwerts".
Ich soll 2 Partialsummen bilden... Dann wäre bei mir die eine Partialsumme
[mm] s_k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] mit k ungerade für die positiven Folgeglieder
und
[mm] s_k_1 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] mit k gerade für die negativen Folgeglieder.
Rechnet ich die Partialsummen auf, kommt der Genzwert dieser Folge annähernd raus, also bei mir ist a [mm] \ge \bruch{1}{2} [/mm] und bei genügend hohen Folgegliedern von [mm] s_k [/mm] und [mm] s_k_1 [/mm] nähert sich die Summe der beiden Partialsummen auch dem Grenzwert, der mir bei Wikipedia gezeigt wird: ln2.
> >
> > Bei (ii) habe ich auch keine Idee., wie ich zeigen kann,
> > dass die Umordnung gegen a konvergiert.
>
>
> Vergleiche mal die Teilsummenfolge von
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}[/mm] mit der
> Teilsummenfolge von
>
> [mm]1+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{7}-\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}++--....[/mm]
>
Was meinst du damit
> FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 05.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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