Umparametrisierung von Kurve < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Di 16.12.2014 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
ich habe folgendes in einem ![[]](/images/popup.gif) Buch gefunden:
Sei [mm] $\alpha(t) [/mm] = (g(t), h(t), 0)$ eine reguläre Kurve in der $xy$-Ebene. Gilt $g'(t) [mm] \neq [/mm] 0$ für alle $t$, so ist $g$ streng monoton. Daraus folgt, dass $g$ auch injektiv ist und somit eine Umkehrfunktion [mm] $g^{-1}$ [/mm] existiert, welche ebenfalls beliebig oft differenzierbar ist. Durch diese Umkehrfunktion können wir die Kurve [mm] $\alpha$ [/mm] umparametrisieren zur regulären Kurve [mm] $\tilde{\alpha}$ [/mm] durch
[mm] $$\tilde{\alpha}(t) [/mm] = [mm] (\alpha \circ g^{-1})(t) [/mm] = ((g [mm] \circ g^{-1})(t), [/mm] (h [mm] \circ g^{-1})(t), [/mm] 0) = (t, (h [mm] \circ g^{-1})(t), [/mm] 0).$$
Ich frage mich nun, ob [mm] $\tilde{\alpha}$ [/mm] auch wirklich wohldefiniert ist für alle $t$. Denn $g$ ist ja nur injektiv, nicht notwendigerweise auch bijektiv. Also könnte es doch einen Punkt außerhalb des Bildes von $g$ geben, für welchen [mm] $g^{-1}$ [/mm] nicht definiert ist.
Oder übersehe ich hier etwas?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe folgendes in einem
> Buch
> gefunden:
>
> Sei [mm]\alpha(t) = (g(t), h(t), 0)[/mm] eine reguläre Kurve in der
> [mm]xy[/mm]-Ebene. Gilt [mm]g'(t) \neq 0[/mm] für alle [mm]t[/mm], so ist [mm]g[/mm] streng
> monoton. Daraus folgt, dass [mm]g[/mm] auch injektiv ist und somit
> eine Umkehrfunktion [mm]g^{-1}[/mm] existiert, welche ebenfalls
> beliebig oft differenzierbar ist. Durch diese
> Umkehrfunktion können wir die Kurve [mm]\alpha[/mm]
> umparametrisieren zur regulären Kurve [mm]\tilde{\alpha}[/mm]
> durch
> [mm]\tilde{\alpha}(t) = (\alpha \circ g^{-1})(t) = ((g \circ g^{-1})(t), (h \circ g^{-1})(t), 0) = (t, (h \circ g^{-1})(t), 0).[/mm]
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> Ich frage mich nun, ob [mm]\tilde{\alpha}[/mm] auch wirklich
> wohldefiniert ist für alle [mm]t[/mm]. Denn [mm]g[/mm] ist ja nur injektiv,
> nicht notwendigerweise auch bijektiv. Also könnte es doch
> einen Punkt außerhalb des Bildes von [mm]g[/mm] geben, für welchen
> [mm]g^{-1}[/mm] nicht definiert ist.
>
> Oder übersehe ich hier etwas?
Der Definitionsbereich von [mm] \alpha [/mm] fehlt. Ich nehme an, das dieser ein Intervall I in [mm] \IR [/mm] ist. Also $g:I [mm] \to \IR$
[/mm]
Oft betrachtet man dann [mm] $g_1:I \to [/mm] g(I)$,
def. durch [mm] g_1(t):=g(t) [/mm] für t [mm] \in [/mm] I.
Wenn g streng monoton ist, so ist [mm] g_1 [/mm] bijektiv, hat also eine Umkehrfunktion
$ [mm] g_1^{-1}:g(I) \to [/mm] I.$
Statt [mm] g_1^{-1} [/mm] schreibt man oft [mm] g^{-1}.
[/mm]
Und damit ist alle paletti !
FRED
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