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| Aufgabe | [0,1] sei mit der Gleichverteilung versehen. Geben sie [mm] A_{1}, A_{2}, [/mm] ..., [mm] A_{n} [/mm] so an, dass:
- Jedes [mm] A_{k} [/mm] eine endliche Vereinigung von Teilintervallen von [0,1] und folglich ein Ereignis ist.
- Für alle n ist [mm] P(A_{n}) \in [/mm] ]0,1[.
- Für jedes n sind die [mm] A_{1}, [/mm] ..., [mm] A_{n} [/mm] unabhängig. |
Ich habe diese Aufgabe, weiß aber überhaupt nicht wie ich da anfangen soll. Ich habe verstanden, dass es nicht reicht konkrete Intervalle mit Zahlen und so anzugeben, aber was soll ich da sonst machen? Unser Tutor hat was mit einer Funktion gesagt, aber wie soll das denn gehen? Ich sehe bei der Aufgabe wirklich überhaupt nicht durch. Bitte helft mir.
Dank euch schon mal im Voraus. Nora
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Hallo,
dort steht doch geben sie [mm]A_1[/mm], [mm]A_2[/mm], [mm]A_3[/mm],... usw an. Das heißt doch du sollst die Intervalle konkret angeben. Wieso solltest du die nicht angeben dürfen?
Ich würde [mm]A_1[/mm], [mm]A_2[/mm], [mm]A_3[/mm],... angeben und dann zeigen, dass die 3 Eigenschaften erfüllt sind.
Wäre zum Beispiel [mm]n = 3[/mm]. Dann könnte ich wählen: [mm]A_1 := ]0; \bruch{1}{2}[[/mm], [mm]A_2 := ]0; \bruch{1}{4}[ \cup ]\bruch{2}{4}; \bruch{3}{4}[[/mm], [mm]A_3 := ]0; \bruch{1}{8}[ \cup ]\bruch{2}{8}; \bruch{3}{8}[ \cup ]\bruch{4}{8}; \bruch{5}{8}[ \cup ]\bruch{6}{8}; \bruch{7}{8}[[/mm].
Die ersten 2 Eigenschaften gelten nach Konstruktion offensichtlich. Dann muss man nur noch die Unabhängigkeit zeigen.
Also für das Beispiel [mm]n = 3[/mm] müsstest du zeigen:
(1) [mm]P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) * P(A_2)[/mm]
(2) [mm]P(A_2 \cap A_3) = P(A_2) * P(A_3)[/mm]
(3) [mm]P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) * P(A_3)[/mm]
(4) [mm]P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) * P(A_2) * P(A_3)[/mm]
Hier will ich als Beispiel mal (4) rechnen. Es gilt: [mm]\forall i \in \{1,...,3\}: P(A_i) = \bruch{1}{2}[/mm]
Also ist [mm]P(A_1) * P(A_2) * P(A_3) = \bruch{1}{2^3} = \bruch{1}{8}[/mm].
Nun ist [mm]A_1 \cap A_2 \cap A_3 = ]0; \bruch{1}{8}[/mm]. Also ist [mm]P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \bruch{1}{8}[/mm].
Nun musst du das halt für ein allgemeines n machen. Was dein Tutor mit einer Funktion gemeint hat weiß ich aber nicht.
Mfg,
Christoph
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