Unabhängige Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mo 07.05.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Eine Fluggesellschaft nimmt Sitzplanbuchungen für ein kleines Flugzeug mit 20 Plätzen entgegen. Da sie aus Erfahrung weiß, dass jeder Passagier (unabhängig von den anderen Passagieren) mit Wahrscheinlichkeit [mm] \frac{1}{3} [/mm] nicht erscheint, nimmt sie 25 Anmeldungen entgegen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen mehr Passagiere als das Flugzeug Sitzplätze hat? |
Hi Leute!
Ich hab natürlich mit der Aufgabe schon angefangen, aber nicht so wirklich weitergekommen:
Ereignis A = "Passagiere erscheinen nicht": $P(A) = [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
Grundmengen: [mm] $\Omega_1 [/mm] = [mm] \{1,2,...,20 \}, \Omega_2\{ 1,2,...,25 \}$
[/mm]
Stimmt das soweit? Weiter weiß ich leider nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo bandchef,
> Grundmengen:
Mehrere Grundmengen?
Zur Erinnerung: Die Elemente der Grundmenge sind die möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments.
> [mm]\Omega_1 = \{1,2,...,20 \},[/mm]
Diese Grundmenge würde also ein Experiment mit den möglichen Ausgängen [mm] $1,2,\ldots,20$ [/mm] beschreiben, also etwa "zufällige Auswahl eines Sitzplatzes". Sie beschreibt also nicht den Vorgang, der hier untersucht werden soll, nämlich "(zufälliges) Erscheinen/Nichterscheinen der 25 Passagiere".
> [mm]\Omega_2\{ 1,2,...,25 \}[/mm]
Eine mögliche Wahl, wenn du dazu erklärst, was denn z.B. Ausgang 19 bedeuten soll, nämlich: Genau 19 Passagiere erschienen.
Kennt ihr die Binomialverteilung?
Wenn nicht wäre es leider nicht so ohne weiteres möglich, Aussagen über das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß P zu treffen. In diesem Fall würde sich eine andere Wahl von [mm] $\Omega$ [/mm] empfehlen:
Wir nummerieren die Passagiere von 1 bis 25 durch. Einen Ausgang des Experiments könnte man dann als ein 25-Tupel auffassen, wobei die i-te Komponente 1 sei, wenn Passagier Nummer i erschienen ist und 0, wenn dieser Passagier nicht erschienen ist [mm] ($i=1,\ldots,25$).
[/mm]
> Ereignis A = "Passagiere erscheinent nicht": [mm]P(A) = \frac{1}{3}[/mm]
Wählst du tatsächlich [mm] $\Omega=\{1,2,\ldots,25\}$, [/mm] so lässt sich das Ereignis, dass ein bestimmter Passagier nicht erscheint, gar nicht als Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] ausdrücken.
Ansonsten würde ich für [mm] $i=1,\ldots,25$ [/mm] jeweils [mm] $A_i$ [/mm] das Ereignis beschreiben lassen, dass der Passagier mit Nummer i nicht erscheint. Dann soll für alle $i=1,...,25$ gelten: [mm] $P(A_i)=\bruch13$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 07.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Hm, du hast natürlich Recht; zwei Grundmengen mach schon so überhaupt keinen Sinn.
Ich hab dann mal die Aufgabenlösung geändert:
Ereignis A = Passagier erscheint nicht.
[mm] $P(A_i) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] mit $i=1,2,...,25$
Binomialverteilung? Ich kenne den Binomialkoeffizienten bspw.: $ [mm] \binom [/mm] nk = [mm] \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}. [/mm] $. Sprich: n über k. Aber wie soll mir hier dieser Binomialkoeffizienten helfen? Ich hab immer gedacht, der löst eher Kombinatorische Probleme wie die Lottoziehung 6 aus 49 usw...
Wie aber setze ich den dann hier ein? Was aus meiner Aufgabe ist n und was ist k?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab dann mal die Aufgabenlösung geändert:
>
> Ereignis [mm] A_\red{i} [/mm] = Passagier erscheint nicht.
>
> [mm]P(A_i) = \frac{1}{3}[/mm] mit [mm]i=1,2,...,25[/mm]
> Binomialverteilung? Ich kenne den Binomialkoeffizienten
> bspw.: [mm]\binom nk = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}. [/mm]. Sprich: n
> über k. Aber wie soll mir hier dieser
> Binomialkoeffizienten helfen? Ich hab immer gedacht, der
> löst eher Kombinatorische Probleme wie die Lottoziehung 6
> aus 49 usw...
Völlig richtig. Wenn ihr die Binomialverteilung nicht hattet, vergessen wir mal schnell diesen Ansatz.
Die Aufgabe kann man übrigens auch ganz ohne explizite Angabe einer Grundmenge und eines Wahrscheinlichkeitsmaßes lösen. Man nutzt dann nur, dass man [mm] $P(A_i)=\bruch13$ [/mm] und die stochastische Unabhängigkeit von [mm] $A_1$ [/mm] bis [mm] $A_{25}$ [/mm] hat. Weißt du, ob es euch bei solchen Aufgaben wie hier erlaubt ist, auf die explizite Angabe von [mm] $\Omega$ [/mm] und $P$ zu verzichten?
Sei B das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen, also das Ereignis, dass mehr als 20 Passagiere kommen.
Hilfsweise benötigen wir für $k=21,22,23,24,25$ die Ereignisse [mm] $C_k$, [/mm] die dafür stehen, dass genau $k$ Passagiere kommen. (Denn deren Wahrscheinlichkeit ist leichter zu bestimmen als die von B.)
Überlege dir: B ist die disjunkte Vereinigung von [mm] $C_{21},C_{22},C_{23},C_{24}$ [/mm] und [mm] $C_{25}$.
[/mm]
Wenn wir also die die Wahrscheinlichkeiten von den [mm] $C_k$ [/mm] berechnet haben, wie lautet dann P(B)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 07.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Das steht jetzt mal auf meinem Block:
Durchnummerierung der 25 Passagiere: i=1,2,...,25
0 entspricht: Passagier kommt nicht
1 entspricht: Passgaier kommt
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{0,1\}^{25} [/mm] = [mm] \{ (\omega_1,...,\omega_{25}) | \omega_i \in \{0,1\}, \forall i = 1,2,...,25 \}$
[/mm]
Verständnisfrage: Sei $ [mm] (\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega [/mm] $. Was bedeutet z.B. $ [mm] \omega_5=0 [/mm] $?
Das bedeutet, dass Passagier 5 nicht kommt.
B ist die disjunkte Vereinigung von $ [mm] C_{21},C_{22},C_{23},C_{24} [/mm] $ und $ [mm] C_{25} [/mm] $.
Was verstehst du hier unter disjunkte Vereinigung? Laut Wikipedia gibt's hier zwei Definition dafür... Ich denke aber, du meinst (wahrscheinlich) das hier: $B = [mm] C_{21} \cup C_{22} \cup C_{23} \cup C_{24} \cup C_{25}$ [/mm] Hier weiß ich aber dann immer noch nicht recht weiter, weil ich grad nicht kapiere, was hinter $ [mm] C_{21},C_{22},C_{23},C_{24} [/mm] $ und $ [mm] C_{25} [/mm] $ steckt.
Wenn wir also die die Wahrscheinlichkeiten von den $ [mm] C_k [/mm] $ berechnet haben, wie lautet dann P(B)?
Jedes einzelne der [mm] C_k [/mm] hat doch die gleiche wahrscheinlichkeit, oder? Also 1/3, oder? Da sie vereinigt werden, muss man sie dann addieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Ich habe meine vorherige Antwort nochmal überarbeitet.
Übrigens finde ich diese Aufgabe alles andere als einfach, wenn man die Binomialverteilung nicht zur Verfügung hat.
> Das steht jetzt mal auf meinem Block:
>
> Durchnummerierung der 25 Passagiere: i=1,2,...,25
>
> 0 entspricht: Passagier kommt nicht
>
> 1 entspricht: Passgaier kommt
>
> [mm]\Omega = \{0,1\}^{25} = \{ (\omega_1,...,\omega_{25}) | \omega_i \in \{0,1\}, \forall i = 1,2,...,25 \}[/mm]
Schön!
> Verständnisfrage: Sei
> [mm](\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega [/mm]. Was bedeutet z.B.
> [mm]\omega_5=0 [/mm]?
>
> Das bedeutet, dass Passagier 5 nicht kommt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> B ist die disjunkte Vereinigung von
> [mm]C_{21},C_{22},C_{23},C_{24}[/mm] und [mm]C_{25} [/mm].
>
> Was verstehst du hier unter disjunkte Vereinigung?
Ihr hattet den Begriff "disjunkte Vereinigung" noch nicht?
Ihr wisst aber schon, dass [mm] $P(A\cup [/mm] B)=P(A)+P(B)$ gilt, wenn A und B disjunkt sind, oder?
Allgemeiner gilt: [mm] $P(\bigcup_{i\in I}D_i)=\sum_{i\in I}P(D_i))$ [/mm] für endliche Indexmengen I, falls die [mm] $D_i$ [/mm] für [mm] $i\in [/mm] I$ paarweise disjunkte Ereignisse sind.
> Laut Wikipedia gibt's hier zwei Definition dafür...
Ich meine die dort zuerst aufgeführte.
> Ich denke
> aber, du meinst (wahrscheinlich) das hier: [mm]B = C_{21} \cup C_{22} \cup C_{23} \cup C_{24} \cup C_{25}[/mm]
Genau. Und die Ereignisse [mm]C_{21},C_{22},C_{23},C_{24}[/mm] und [mm]C_{25}[/mm] sind paarweise disjunkt.
> Hier weiß ich aber dann immer noch nicht recht weiter,
> weil ich grad nicht kapiere, was hinter
> [mm]C_{21},C_{22},C_{23},C_{24}[/mm] und [mm]C_{25}[/mm] steckt.
[mm] $C_{23}$ [/mm] ist z.B. das Ereignis, dass genau 23 Passagiere erscheinen.
> Wenn wir also die die Wahrscheinlichkeiten von den [mm]C_k[/mm]
> berechnet haben, wie lautet dann P(B)?
>
> Jedes einzelne der [mm]C_k[/mm] hat doch die gleiche
> wahrscheinlichkeit, oder? Also 1/3, oder?
Nein. Verwechsle die [mm] $C_k$ [/mm] nicht mit den [mm] $A_i$.
[/mm]
> Da sie vereinigt
> werden, muss man sie dann addieren?
Ja, das ist erlaubt, weil die [mm] $C_k$ [/mm] paarweise disjunkt sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 07.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ihr wisst aber schon, dass $ [mm] P(A\cup [/mm] B)=P(A)+P(B) $ gilt, wenn A und B disjunkt sind, oder?
Ja, das weiß ich. Genauso wie ich weiß, dass gilt: $ [mm] P(A\cap B)=P(A)\cdot [/mm] P(B) $
Also darf $ P(B) = [mm] P(C_{21} \cup C_{22} \cup C_{23} \cup C_{24} \cup C_{25}) [/mm] = [mm] P(C_{21}) [/mm] + [mm] P(C_{22}) [/mm] + [mm] P(C_{23}) [/mm] + [mm] P(C_{24}) [/mm] + [mm] P(C_{25}) [/mm] $ schreiben.
Aber was sind dann hier nun die Wahrscheinlichkeiten, dass für $ [mm] C_{21},C_{22},C_{23},C_{24} [/mm] $ und $ [mm] C_{25} [/mm] $ ein Passagier kommt? Ist das [mm] $P(C_k) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] So wie es in der Angabe steht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ihr wisst aber schon, dass [mm]P(A\cup B)=P(A)+P(B)[/mm] gilt, wenn
> A und B disjunkt sind, oder?
>
> Ja, das weiß ich. Genauso wie ich weiß, dass gilt:
> [mm]P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)[/mm]
Nur, wenn A und B stochastisch unabhängig sind!
> Also darf [mm]P(B) = P(C_{21} \cup C_{22} \cup C_{23} \cup C_{24} \cup C_{25}) = P(C_{21}) + P(C_{22}) + P(C_{23}) + P(C_{24}) + P(C_{25})[/mm]
> schreiben.
Ja.
> Aber was sind dann hier nun die Wahrscheinlichkeiten, dass
> für [mm]C_{21},C_{22},C_{23},C_{24}[/mm] und [mm]C_{25}[/mm] ein Passagier
> kommt? Ist das [mm]P(C_k) = \frac{1}{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
So wie es in der Angabe
> steht?
Du verwechselst immer noch die $A_i$ mit den $C_k$. $A_{23}$ ist z.B. das Ereignis, dass der Passagier Nummer 23 nicht erscheint. $C_{23}$ ist dagegen das Ereignis, dass insgesamt genau 23 Passagiere erscheinen.
Ziel ist nun, die $C_k$ durch die $A_i$ auszudrücken (denn über deren Wahrscheinlichkeiten wissen wir etwas). Das wird leider etwas unübersichtlich.
Es gilt
$C_k=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\;|\;\text{genau }k\text{ Einsen unter }\omega_1,\ldots,\omega_{25}\}=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\;|\;\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k\}=\bigcup_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\}$,
wobei die Vereinigung über paarweise disjunkte Mengen erfolgt.
Also $P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})$.
Es gilt also, $P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})$ zu bestimmen.
Dazu drücken wir das Ereignis $\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\}$ durch die $A_i$ aus:
Beispiele: Das Ereignis, dass gar kein Fluggast kommt, ist
$\{(0,0,\ldots,0)\}=A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_{25}$.
Das Ereignis, dass alle 25 Passagiere kommen, ist
$\{(1,1,\ldots,1)\}=A_1^c\cap A_2^c\cap\ldots\cap A_{25}^c$.
Das Ereignis, dass die Passagiere Nummer 2 und 4 erscheinen und alle anderen nicht, ist
$\{(0,1,0,1,0,0,0\ldots,0)\}=(A_1\cap A_3\cap A_5\cap A_6\cap A_7\cap\ldots,\cap A_{25})\cap(A_2^c\cap A_4^c)$.
Allgemein:
$\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\}=(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c)$.
Konntest du bis hierhin folgen?
Deine nächste Aufgabe wäre dann, $P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})$ zu bestimmen im Falle $\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mo 07.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Du verwechselst immer noch die $ [mm] A_i [/mm] $ mit den $ [mm] C_k [/mm] $.
Sorry. Ich hab irgendwie wirklich jetzt erst verstanden, dass zwischen den zwei Ereignissen ein Unterschied ist... Wird jetzt nicht mehr vorkommen.
Konntest du bis hierhin folgen? Ja, ich konnte soweit folgen, auch die schwierigere Summe-Notationen hab ich soweit verstanden.
Deine nächste Aufgabe wäre dann, $ [mm] P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\}) [/mm] $ zu bestimmen im Falle $ [mm] \sum_{i=1}^{25}\omega_i=k [/mm] $.
Tja, hier hakts dann leider auch schon wieder. Ich soll also die Wahrscheinlichkeit aller [mm] \omega [/mm] bestimmen wenn der Fall Eintritt, dass $ [mm] \sum_{i=1}^{25}\omega_i=k [/mm] $ gilt. Was ist k? k ist doch die Anzahl der Personen die zu viel kommen, oder? Aber ich weiß doch nich wie viel Personen zu viel kommen...
Muss ich mich hier erstmals Gedanken über die Mächtigkeit von den [mm] A_i [/mm] (die [mm] \omega_i [/mm] soll ich ja durch die [mm] A_i [/mm] ausdrücken) und der Grundmenge [mm] \Omega [/mm] machen? Damit ich auf den altbewährten Ansatz [mm] $P(A_i)=\frac{\left|A_i\right|}{\left| \Omega \right|}$ [/mm] komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Du verwechselst immer noch die [mm]A_i[/mm] mit den [mm]C_k [/mm].
>
> Sorry. Ich hab irgendwie wirklich jetzt erst verstanden,
> dass zwischen den zwei Ereignissen ein Unterschied ist...
> Wird jetzt nicht mehr vorkommen.
Kein Problem. Sollte auch kein Vorwurf sein.
> Deine nächste Aufgabe wäre dann,
> [mm]P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})[/mm] zu bestimmen im Falle
> [mm]\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k [/mm].
>
> Tja, hier hakts dann leider auch schon wieder. Ich soll
> also die Wahrscheinlichkeit aller [mm]\omega[/mm] bestimmen wenn der
> Fall Eintritt, dass [mm]\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k[/mm] gilt.
Nein, nicht die Wahrscheinlichkeit aller [mm] $\omega$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k$ [/mm] (das wäre dann die Wahrscheinlichkeit von [mm] $C_k$), [/mm] sondern zunächst als Zwischenschritt dahin die Wahrscheinlichkeit von EINEM [mm] $\omega$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k$.
[/mm]
> Was ist k? k ist doch die Anzahl der Personen die zu viel kommen,
> oder?
k gibt an, wie viele Personen insgesamt kommen.
> Aber ich weiß doch nich wie viel Personen zu viel
> kommen...
Du solltest für JEDES k von 21 bis 25 die jeweilige Wahrscheinlichkeit bestimmen.
> Muss ich mich hier erstmals Gedanken über die Mächtigkeit
> von den [mm]A_i[/mm] (die [mm]\omega_i[/mm] soll ich ja durch die [mm]A_i[/mm]
> ausdrücken) und der Grundmenge [mm]\Omega[/mm] machen? Damit ich
> auf den altbewährten Ansatz
> [mm]P(A_i)=\frac{\left|A_i\right|}{\left| \Omega \right|}[/mm]
> komme?
Der funktioniert nur, wenn P eine Laplace-Verteilung ist. Eine solche liegt hier nicht vor.
Es gilt, wie ich in meiner letzten Antwort schrieb:
[mm] $\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\}=(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c)$
[/mm]
Also
[mm] $P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))=\ldots$.
[/mm]
Du benötigst nun die stochastische Unabhängigkeit der auftauchenden [mm] $A_i$ [/mm] bzw. [mm] $A_i^c$ [/mm] (ich hoffe, ihr hattet, dass bei Übergang zu Komplementen stochastische Unabhängigkeit erhalten bleibt), die Regel [mm] $P(A_i^c)=1-P(A_i)$ [/mm] und [mm] $P(A_i)=\bruch13$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 07.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Gut, dann wird das wohl so aussehen:
$ [mm] P(A_i^c)=1-P(A_i) =1-\frac13 [/mm] = [mm] \frac23$ [/mm] Hier hab ich nun also die Wahrscheinlichkeit des Komplements berechnet. Also quasi die Wahrscheinlichkeit pro Passagier, DASS er erscheint, oder?
Ich denke, dass für alle [mm] A_i =\frac13 [/mm] gelten sollte; für jeden Passsagier ist es doch gleichwahrscheinlich, dass er nicht erscheinen wird, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Gut, dann wird das wohl so aussehen:
>
> [mm]P(A_i^c)=1-P(A_i) =1-\frac13 = \frac23[/mm] Hier hab ich nun
> also die Wahrscheinlichkeit des Komplements berechnet. Also
> quasi die Wahrscheinlichkeit pro Passagier, DASS er
> erscheint, oder?
Genau!
> Ich denke, dass für alle P([mm]A_i[/mm])[mm]=\frac13[/mm] gelten sollte; für
> jeden Passsagier ist es doch gleichwahrscheinlich, dass er
> nicht erscheinen wird, oder?
Ja.
Versuche nun,
[mm] $P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))=\ldots$
[/mm]
mithilfe der stochastischen Unabhängigkeit der [mm] $A_i$ [/mm] bzw. [mm] $A_i^c$ [/mm] zu bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist also das Produkt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 07.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich komm dann auf das hier:
[mm] P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c)) [/mm] =
[mm] P((A_1 \cap A_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{25}) \cap P(A^c_1 \cap A^c_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap A^c_{25})) [/mm] =
[mm] P(A_1 \cap A_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{25}) \cdot P(A^c_1 \cap A^c_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap A^c_{25}) [/mm] =
[mm] P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot P(A_{25}) \cdot P(A^c_1) \cdot P(A^c_2) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot P(A^c_{25}) [/mm] =
[mm] \produkt_{i=1}^{25} P(A_i) \cdot \produkt_{i=1}^{25} P(A^c_i)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))[/mm]
> =
>
> [mm]P((A_1 \cap A_2 \cap[/mm] ... [mm]\cap A_{25}) \cap P(A^c_1 \cap A^c_2 \cap[/mm]
> ... [mm]\cap A^c_{25}))[/mm] =
>
> [mm]P(A_1 \cap A_2 \cap[/mm] ... [mm]\cap A_{25}) \cdot P(A^c_1 \cap A^c_2 \cap[/mm]
> ... [mm]\cap A^c_{25})[/mm] =
>
> [mm]P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot[/mm] ... [mm]\cdot P(A_{25}) \cdot P(A^c_1) \cdot P(A^c_2) \cdot[/mm]
> ... [mm]\cdot P(A^c_{25})[/mm] =
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{25} P(A_i) \cdot \produkt_{i=1}^{25} P(A^c_i)[/mm]
So ungefähr.
Das [mm] $\omega_i=0$ [/mm] unterhalb des ersten [mm] $\bigcap$-Zeichens [/mm] bedeutet, dass der Schnitt nur über solche i genommen wird, für die [mm] $\omega_i=0$ [/mm] gilt. Es werden also nicht alle [mm] $A_i$ [/mm] geschnitten, sondern nur ein Teil der [mm] $A_i$.
[/mm]
Entsprechend entsteht bei Ausnutzen der stochastischen Unabhängigkeit ein Produkt nur über die [mm] $P(A_i)$ [/mm] mit [mm] $\omega_i=0$.
[/mm]
Also:
[mm] $P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}P(A_i))*(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}P(A_i^c))=\ldots$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 07.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ok!
Aber woher weiß ich nun was der "Teil" ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mo 07.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Aber woher weiß ich nun was der "Teil" ist?
Das hängt von der Gestalt von $(\omega_1,\ldots,\omega_{25})$ ab.
Aber du weißt ja $P(A_i)=\bruch13$ und $P(A_i^c)=\bruch23$ für alle $i=1,\ldots,25$. Also
$P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}P(A_i))\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}P(A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}\bruch13)\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}\bruch23)$.
Die Frage ist nun: Wie viele Faktoren haben die beiden Produkte jeweils?
Die Zahl der Faktoren des rechten Produktes ist die Anzahl der $i\in\{1,\ldots,25\}$ mit $\omega_i=1$ und diese Anzahl lautet $\sum_{i=1}^{25}\omega_i$. Wenn wir diese Summe k nennen, erhalten wir somit
$(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}\bruch23)=(\bruch23)^k$.
Die Anzahl der Faktoren im linken Produkt ist die Anzahl der $i\in\{1,\ldots,25\}$ mit $\omega_i=0$, also
25-(Anzahl der $i\in\{1,\ldots,25\}$ mit $\omega_i=1$)
=25-k.
Wie lautet also $P(\{\omega_1,\ldots,\omega_{25}\})$ im Falle $\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k$?
Also
$P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=\ldots$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 08.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zitat: "Wie lautet also $ P(\{\omega_1,\ldots,\omega_{25}\}) $ im Falle $ \sum_{i=1}^{25}\omega_i=k $?"
Ich verstehe grad nicht so ganz. Ist das jetzt eine Frage an mich, oder hast du mir hiermit...
Zitat: "Also $ P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=\ldots $."
... schon die Antwort gegeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Di 08.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Zitat: "Wie lautet also [mm]P(\{\omega_1,\ldots,\omega_{25}\})[/mm]
> im Falle [mm]\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k [/mm]?"
>
> Ich verstehe grad nicht so ganz. Ist das jetzt eine Frage
> an mich, oder hast du mir hiermit...
Ja, eine Frage an dich.
> Zitat: "Also
> [mm]P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=\ldots [/mm]."
>
>
> ... schon die Antwort gegeben?
Das wäre danach der nächste Schritt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Di 08.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Dann lautet das linke Produkt meiner Meinung nach so: [mm] $\left(\frac13\right)^{25-k}$
[/mm]
Im ganzen dann so:
$ [mm] P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}P(A_i))\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}P(A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}\bruch13)\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}\bruch23) [/mm] = [mm] \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^{k}$.
[/mm]
Damit ich hier doch nun auf ein Ergebnis komme, muss ich doch wohl k=5 setzen; das sind dann die 5 Anmeldungen die die Fluggesellschaft mehr entgegen nimmt. Stimmt das dann so?
[mm] $\Rightarrow \left(\frac13\right)^{25-5} \cdot \left(\frac23\right)^{5} \approx 37,8\cdot 10^{-12}\Rightarrow 3,78\cdot 10^{-9} \%$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Di 08.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Dann lautet das linke Produkt meiner Meinung nach so:
> [mm]\left(\frac13\right)^{25-k}[/mm]
> Im ganzen dann so:
>
> [mm]P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}P(A_i))\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}P(A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}\bruch13)\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}\bruch23) = \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Schön!
> Damit ich hier doch nun auf ein Ergebnis komme, muss ich
> doch wohl k=5 setzen; das sind dann die 5 Anmeldungen die
> die Fluggesellschaft mehr entgegen nimmt. Stimmt das dann
> so?
Nein.
Wir haben jetzt für jedes einzelne $(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega$, das genau k Einsen enthält, die Wahrscheinlichkeit bestimmt. Für $k=5$ wäre das z.B. die Wahrscheinlichkeit, das die Passagiere Nummer 1 bis Nummer 5 erscheinen und die restlichen Passagiere nicht. Oder die Wahrscheinlichkeit, dass Nummer 3, 15, 17, 20, 24 erscheinen und die restlichen nicht.
Nächster Schritt (wie bereits angedeutet):
$P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=\ldots $
bestimmen, also die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Passagiere kommen.
Setze dazu die berechnete Wahrscheinlichkeit $P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})$ im Falle $\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k$ ein.
Dann wirst du feststellen, dass alle Summanden gleich groß sind.
Wie viele Summanden sind es? D.h. wie viele $(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega$ mit $\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k$ gibt es? D.h. wie viele Möglichkeiten gibt es, k Einsen auf die 25 Plätze zu verteilen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 08.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ist das hier jetzt mit so nem "6 aus 49 Problem" zu vergleichen? Denn dann wäre das ja recht einfach, oder? Dieser Binomilakoeffizient, den ich aus Mathe 1 kenne, löst dies doch dann, oder?
[mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] Nur was ist in meiner Aufgabe dann n und was ist k? n=25, k=20?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Di 08.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ist das hier jetzt mit so nem "6 aus 49 Problem" zu
> vergleichen?
Ja.
> Dieser Binomilakoeffizient, den ich aus Mathe 1 kenne,
> löst dies doch dann, oder?
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nur was ist in meiner Aufgabe dann n und
> was ist k? n=25, k=20?
Gesucht ist die Anzahl der Möglichkeiten, k Einsen auf 25 Plätze zu verteilen. Mit anderen Worten: Gesucht ist die Anzahl der Möglichkeiten, k von 25 Plätzen auszuwählen. Dazu gibt es genau $\tbinom{25}{k}$ Möglichkeiten.
Also
$P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=\ldots$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 08.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
also wird es wohl so aussehen:
$ P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})= \vektor{25 \\ k} \cdot \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^{k} = $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 08.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})= \vektor{25 \\ k} \cdot \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^{k} =[/mm]
Damit kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(B)$ bestimmen. Wie die mit den [mm] $P(C_k)$ [/mm] für [mm] $k=21,\ldots,25$ [/mm] zusammenhängt, hatten wir ja schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 08.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Das heißt also, ich muss nun für k=5 setzen, oder stimmt das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Di 08.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Das heißt also, ich muss nun für k=5 setzen, oder stimmt
> das nicht?
Nein.
[mm] $P(C_5)$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 Passagiere erscheinen. Wir benötigen aber die Wahrscheinlichkeit $P(B)$, dass mehr als 20 Passagiere kommen.
Der Grund, [mm] $P(C_k)$ [/mm] zu betrachten, war der Zusammenhang
[mm] $P(B)=P(C_{21})+P(C_{22})+P(C_{23})+P(C_{24})+P(C_{25})$.
[/mm]
(Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 20 Passagiere kommen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass 21, 22, 23, 24 bzw. 25 Passagiere erscheinen.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 08.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ereignisse:
A = Passagier erscheint nicht
B = Es kommen mehr als 20 Passagiere
C = Es kommen genau k Passagiere
Durchnummerierung der 25 Passagiere: i=1,2,...,25
0 entspricht: Passagier kommt nicht
1 entspricht: Passgaier kommt
$ \Omega = \{0,1\}^{25} = \{ (\omega_1,...,\omega_{25}) | \omega_i \in \{0,1\}, \forall i = 1,2,...,25 \} $
$ P(A_i)=\bruch13 $ und $ P(A_i^c)=1-P(A_i)=1-\frac13 $.
$ P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}P(A_i))\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}P(A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}\bruch13)\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}\bruch23) = \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^{k} $.
$ P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})= \vektor{25 \\ k} \cdot \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^{k} = $
$ P(B) = P(C_{21} \cup C_{22} \cup C_{23} \cup C_{24} \cup C_{25}) = P(C_{21}) + P(C_{22}) + P(C_{23}) + P(C_{24}) + P(C_{25}) = \sum_{k=21}^{25}\left( \vektor{25 \\ k} \cdot \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^k \right) = 0,0462 \Rightarrow 46,2 \%$.
So sollte das wohl jetzt stimmen... 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Di 08.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ereignisse:
>
> [mm] A$_\red{i}$ [/mm] = Passagier Nummer i erscheint nicht
> B = Es kommen mehr als 20 Passagiere
> [mm] C$_\red{k}$ [/mm] = Es kommen genau k Passagiere
>
>
>
> Durchnummerierung der 25 Passagiere: i=1,2,...,25
>
> 0 entspricht: Passagier kommt nicht
>
> 1 entspricht: Passgaier kommt
>
> [mm]\Omega = \{0,1\}^{25} = \{ (\omega_1,...,\omega_{25}) | \omega_i \in \{0,1\}, \forall i = 1,2,...,25 \}[/mm]
>
>
>
> [mm]P(A_i)=\bruch13[/mm] und [mm]P(A_i^c)=1-P(A_i)=1-\frac13 [/mm].
Außerdem Modellannahme: Die [mm] $A_1,\ldots,A_{25}$ [/mm] stochastisch unabhängig.
Für alle [mm] $(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k$ [/mm] gilt:
> [mm]P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})=P((\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}A_i)\cap(\bigcap_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}P(A_i))\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}P(A_i^c))=(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=0}}\bruch13)\cdot{}(\produkt_{\substack{i\in\{1,\ldots,25\}\\\omega_i=1}}\bruch23) = \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^{k} [/mm].
>
>
>
> [mm]P(C_k)=\sum_{\substack{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\in\Omega\\\sum_{i=1}^{25}\omega_i=k}}}P(\{(\omega_1,\ldots,\omega_{25})\})= \vektor{25 \\ k} \cdot \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^{k} =[/mm]
>
>
>
> [mm]P(B) = P(C_{21} \cup C_{22} \cup C_{23} \cup C_{24} \cup C_{25}) = P(C_{21}) + P(C_{22}) + P(C_{23}) + P(C_{24}) + P(C_{25}) = \sum_{k=21}^{25}\left( \vektor{25 \\ k} \cdot \left(\frac13\right)^{25-k} \cdot \left(\frac23\right)^k \right) = 0,0462 \Rightarrow 46,2 \%[/mm].
Bis auf die Umrechnung in % stimmt es!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Di 08.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Sorry, falscher threadrichtung. Ich poste neu.
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