Unabhängige Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Es seien X,Y unabhängige Zufallsvariablen mit
[mm] \IP(X=i)=\IP(Y=i)=\bruch{1}{2^{i}}, [/mm] i [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeigen Sie, dass für jedes k [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \IP(X\ge kY)=\bruch{2}{2^{k+1}-1}. [/mm] |
Hi, ich bin's nochmal^^
Habe die Aufgabe bearbeitet, jedoch kommt nicht das gewünschte Ergebnis heraus. Bin's nochmal öfter durchgegangen aber ich seh den Fehler nicht, also seh wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht^^ Also ich habe geschrieben:
[mm] \IP(X \ge kY)=\IP(\{X=k,Y=k\}\cup\{X=k+1,Y=k\}\cup...\cup\{X=2k,Y=2k\}\cup\{X=2k+1,Y=2k\}\cup....)
[/mm]
[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}\IP(X=mk+j,Y=mk)=\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}\IP(X=mk+j)*\IP(Y=mk)=\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{mk+j}(\bruch{1}{2})^{mk}
[/mm]
[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2mk}\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{j}=\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2mk}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}=\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2mk}*2
[/mm]
[mm] =2\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2^{2k}})^{m}=(\bruch{1}{2})^{2k-1}\summe_{m=0}^{\infty}(\bruch{1}{2^{2k}})^{m}=(\bruch{1}{2})^{2k-1}*\bruch{1}{1-(\bruch{1}{2})^{2k}}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2})^{2k-1}*\bruch{1}{\bruch{2^{2k}-1}{2^{2k}}} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^{2k-1}*\bruch{2^{2k}}{2^{2k}-1} =\bruch{2^{2k}}{2^{2k-1}(2^{2k}-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2^{2k-1}*2}{2^{2k-1}(2^{2k}-1)}=\bruch{2}{2^{2k}-1}
[/mm]
Nur wo ist jetzt hier der Fehler? Würde mich freuen, wenn mal jemand kurz rüberschaut 
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Fr 06.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Habe die Aufgabe bearbeitet, jedoch kommt nicht das
> gewünschte Ergebnis heraus.
Und die ist wie?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Topologe |
Die Aufgabe oder das gewuenschte Ergebnis?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Sa 07.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Die Aufgabe oder das gewuenschte Ergebnis?
Letzteres.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Topologe |
Das gewünschte Ergebnis wäre:
[mm] \IP(X\ge kY)=\bruch{2}{2^{k+1}-1}, \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Sa 07.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Dein Anfang lautet:
> Also ich habe geschrieben:
> $ \IP(X \ge kY)=\IP(\{X=k,Y=k\}\cup\{X=k+1,Y=k\}\cup...\cup\{X=2k,Y=2k\}\cup\{X=2k+1,Y=2k\}\cup....) $.
Wieso ist z.B. $(X=k,Y=k\}\subset(X \ge kY)$?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Mo 09.06.2014 | | Autor: | Topologe |
Stimmt!
[mm] P(X\ge kY)=P(\{X=k,Y=1\}\cup\{X=k+1,Y=1\}\cup...\cup\{X=2k,Y=2\}\cup\{X=2k+1,Y=2\}\cup...)
[/mm]
[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}P(X=mk+j,Y=m)=\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}P(X=mk+j)P(Y=m)
[/mm]
[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{mk+j}(\bruch{1}{2})^{m}=\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{mk}(\bruch{1}{2})^{m}\summe_{j=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{j}
[/mm]
[mm] =\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2^{k}})^{m}(\bruch{1}{2})^{m}*2=2\summe_{m=1}^{\infty}(\bruch{1}{2^{k+1}})^{m}=(\bruch{1}{2})^{k}\summe_{m=0}^{\infty}(\bruch{1}{2^{k+1}})^{m}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{2})^{k}*\bruch{1}{1-({\bruch{1}{2})^{k+1}}}=(\bruch{1}{2})^{k}*\bruch{1}{\bruch{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}}=(\bruch{1}{2})^{k}*\bruch{2^{k+1}}{2^{k+1}-1}=\bruch{2}{2^{k+1}-1}
[/mm]
|
|
|
|
