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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:30 So 22.04.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | [mm] \textit{Hallo, liebes Forum!}
[/mm]
Ich versuche gerade einen Beweis zu verstehen. Und zwar geht es um folgende Aussage:
Seien [mm] $X_i, [/mm] i=1,...,n$ Zufallsvariablen mit [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] unabhängig identisch verteilt wie F, F stetig. Dann gilt:
Die geordnete Statistik [mm] $(X_{(1)},...,X_{(n)})$ [/mm] und der Rangvektor [mm] $R:=R(X_1,...,X_n)$ [/mm] sind stochastisch unabhängig. |
Wir haben das so aufgeschrieben:
Sei [mm] $B\in\mathcal{B}^n$ [/mm] und [mm] $\pi$ [/mm] eine Permutation auf [mm] $\left\{1,...,n\right\}$. [/mm] Dann:
[mm] $P((X_{(1)},...,X_{(n)})\in [/mm] B, [mm] R=\pi)$
[/mm]
[mm] $=P(\vec{X}_{()}\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{n}, R=\pi)$
[/mm]
[mm] $=P((X_{\pi^{-1}(1)},...,X_{\pi^{-1}(n)})\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{n}, R=\pi)$
[/mm]
[mm] $=P(\pi^{-1}(X_1,...,X_n)\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{n})$
[/mm]
Wegen u.i.v.:
[mm] $=P(\vec{X}\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{n})$ \textbf{(1)}
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{n!}P(\vec{X}_{()}\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{n})$ \textbf{(2)}
[/mm]
[mm] $=P(R=\pi)\cdot P(\vec{X}_{()}\in [/mm] B)$
Das Meiste daran ist mir auch - denke ich - klar, nur die mit (1) und (2) markierten Zeilen nicht.
Ich illustriere mein Problem mal an einem Beispiel:
Es sei [mm] $\vec{X}=(3,5,4)$.
[/mm]
Dann ist $R=(1,3,2)$ und sei [mm] $R=\pi$.
[/mm]
Gehe ich die Beweisschritte hiermit einfach mal durch:
[mm] $P((X_{(1)},...,X_{(3)})\in [/mm] B, [mm] R=\pi)=P((3,4,5)\in [/mm] B, R=(1,3,2))$
[mm] $=P(\vec{X}_{()}\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{3}, [/mm] R=(1,3,2))$
Weiter gilt dann:
[mm] $\pi^{-1}=(1,3,2), \pi^{-1}(\vec{X})=(X_1,X_3,X_2)$
[/mm]
Also oben weiter mit:
[mm] $=P((X_{\pi^{-1}(1)},X_{\pi^{-1}(2)},X_{\pi^{-1}(3)})\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{3}, [/mm] R=(1,3,2))$
[mm] $=P((X_1,X_3,X_2)\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{3}, [/mm] R=(1,3,2))$
[mm] $=P(\pi^{-1}(X_1,X_2,X_3)\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{n})$
[/mm]
(Daß [mm] $R=\pi$ [/mm] ist, steckt hier ja mit drin, denn in unserer Vorlesung hatten wir das Lemma: Sei [mm] $X\in\mathbb R^n$ [/mm] mit [mm] $R(\vec{X})\in\Pi_{n}$=Menge [/mm] aller Permutationen über [mm] $\left\{1,...,n\right\}$ [/mm] und [mm] $d:=(R(\vec{X}))^{-1}\in\Pi_n$. [/mm] So gilt [mm] $x_{(i)}=x_{d_i}$. [/mm] Und hier ist ja [mm] $(R(\vec{X}))^{-1}=(\pi)^{-1}$.)
[/mm]
[mm] \textit{Und jetzt ist genau der Punkt, an dem ich nicht weiterkomme (das, was ich oben als (1) und (2) markiert habe):}
[/mm]
Wieso folgt denn jetzt aus der u.i.v.-Annahme, daß
[mm] $=P((X_1,X_2,X_3)\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{3})$
[/mm]
Und wieso ist das dann identisch mit
[mm] $\frac{1}{3!}P(\vec{X}_{()}\in B\cap\mathbb R_{\leq}^{3})$ [/mm] ?
[mm] \textit{Das ist mir noch unklar.} [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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