Unabhängigkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Mi 27.06.2012 | | Autor: | physicus |
hallo zusammen
Es ist bekannt, dass für $X$ unabhängig von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] folgendes gilt:
$$ [mm] E[X|\mathcal{F}]=E[X]$$
[/mm]
Gilt die Umkehrung auch, also aus $ [mm] E[X|\mathcal{F}]=E[X]$ [/mm] folgt Unabhängigkeit?
danke und gruss
phyicus
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Hiho,
> Gilt die Umkehrung auch, also aus [mm]E[X|\mathcal{F}]=E[X][/mm]
> folgt Unabhängigkeit?
Nein. Ich kenn deinen mathematischen Hintergrund nicht, aber bei Martingalen kann man da recht fix ein Gegenbeispiel finden.
Im Normalfall sind die Inkremente von Martingalen nicht unabhängig, sei nun M so ein solches Martingal mit [mm] $M_0 [/mm] = 0$, dann gilt:
[mm] $M_t [/mm] - [mm] M_s$ [/mm] ist nicht unabhängig von [mm] $\mathcal{F}_s$ [/mm] (wurde ja gerade so gewählt), aber
[mm] $E[M_t [/mm] - [mm] M_s [/mm] | [mm] \mathcal{F}_s] [/mm] = 0 = 0 - 0 = [mm] E[M_t] [/mm] - [mm] E[M_s] [/mm] = [mm] E[M_t [/mm] - [mm] M_s]$
[/mm]
MFG,
Gono.
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