Unabhängigkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] [-n,n]\cap\IZ, [/mm] so dass P(X=k)=P(X=-k)
für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt. Außerdem sei Y = [mm] aX^2 [/mm] +b mit a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Sind X und Y unabhängig bzw. unkorreliert? |
X: [mm] \Omega \to [/mm] {-n,...,n}
Unkorr.:
zz.: Cov(X,Y)=0 [mm] \gdw [/mm] E[XY]= E[X]E[Y]
E[X] = [mm] \summe_{\omega \in \Omega}^{} X(\omega)*P({\omega})
[/mm]
[mm] =\summe_{k=-n}^{n} [/mm] k * P({X=k}) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * P({X=k}) + [mm] \summe_{k=0}^{-n} [/mm] k * P({X=k}) =
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * P({X=k}) - [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k * P({X=k})n = 0
Da Y = [mm] aX^2 [/mm] +b [mm] \Rightarrow
[/mm]
E[XY] = E [mm] [X(aX^2+b)] [/mm] = [mm] a*E[X^3] [/mm] + b*E[X] (=0)
= a* [mm] \summe_{k=-n}^{n} k^3 [/mm] * [mm] P({X^3=k^3}) [/mm] = 0
(wegen Symmetrie von [mm] X^3, [/mm] wie oben)
E[X]=0 [mm] \Rightarrow [/mm] E[X]*E[Y]=0= E[YX]
[mm] \Rightarrow [/mm] X,Y sind unkorreliert.
Bin mir hierbei nicht wirklich sicher.
Bei der Unabhängigkeit weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Grüße
ConstantinJ
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Do 23.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Constantin
> Bin mir hierbei nicht wirklich sicher.
Alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei der Unabhängigkeit weiß ich nicht, wie ich vorgehen
> soll.
>
Hier genuegt ein (moeglichst euinfaches) Gegenbeispiel.
vg Luis
|
|
|
| |
|
Zu dem Gegenbeispiel:
Wähle n=1:
[mm] \Rightarrow [/mm] X: {-1,0,1} [mm] \to [/mm] {-1,0,1}, k [mm] \mapsto [/mm] k
[mm] \Rightarrow [/mm] Y: {-1,0,1} [mm] \to [/mm] {0,1}, k [mm] \mapsto k^2 [/mm] (a=1,b=0)
Setze: P({-1}) = P({1})= 1/4 ; P({0})=1/2
Die Bed. sind erfüllt.
P({X=1} [mm] \cap [/mm] {Y=1}) = P({1} [mm] \cap [/mm] {-1,1}) = P({1}) = 1/2
P({X=1}) * P({Y=1}) = P({1})* P({-1,1}) = 1/4 * 1/2 = 1/8
Damit: P({X=x} [mm] \cap [/mm] {Y=y}) [mm] \not= [/mm] P({X=x}) * P({Y=y}) (im Allg.)
[mm] \Rightarrow [/mm] X,Y nicht unabh.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 23.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Bis auf einige formale Unwuchten okay.
vg Luis
|
|
|
|
