Unabhängigkeit, rationale zahl < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mi 03.06.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich 10 Kugeln mit den Nummern 0,1,2,...,9. Es wird n-mal mit Zurücklegen gezogen. Die entsprechenden Resultate seien [mm] U_1,U_2,...,U_n.
[/mm]
a) Zeige die Unabhängigkeit der Zufallsgrößen [mm] U_j, [/mm] j=1,2,...,n
b)Es seien [mm] u_i,a_i\in{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, [/mm] i=1,2,...,n. Beweisen Sie, dass die Ungleichung [mm] 0,u_1u_2...u_n<0,a_1a_2...a_n [/mm] genau dann erfüllt ist, falls eine natürliche Zahl j<n existiert derart, dass [mm] u_1=a_1, u_2=a_2....u_j=a_j [/mm] und [mm] u_{j+1}
c) Zeigen Sie, dass [mm] P(0,U_1U_2...Un<0,a_1a_2...a_n)=0,a_1a_2...a_n [/mm] erfüllt ist. |
hallo,
a)nun für die Unabhängigkeit muss ja gelten: [mm] P(U_1\cap U_2\cap....\cap U_n)=P(U_1)P(U_2)...P(U_n)
[/mm]
und an dieser stelle habe ich überlegt, was denn P in dieser Aufgabenstellung überhaupt bedeuten soll--ich muss ja in die Gleichung oben etwas einsetzen um die Gleichheit zeigen zu können! Und so wie ich das lese, beudetet [mm] P(U_3) [/mm] ja zB, "die Wahrscheinlichkeit, 3 mal zu Ziehen"--aber das ergibt doch keinen Sinn, oder? Irgendwie müsste man ja die 10 Kugeln mit reinbringen.
besten Dank für jede Hilfe!
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Nein, [mm] U_3 [/mm] ist eine Zufallsvariable, die angibt, welche Kugel beim dritten Ziehen gezogen wird.
Die entsprechenden Ereignisse sind dann z.B. [mm]\{U_3=1\}[/mm] (d.h. beim dritten Ziehen wird eine 1 gezogen) etc.
Die Wahrscheinlichkeiten sind dann z.B. [mm]P(U_3=1)=\bruch{1}{10}[/mm].
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:22 Mi 03.06.2009 | | Autor: | gigi |
achso, danke!
aber stimmt denn mein Ansatz überhaupt so für die Unabhängigkeit? ich müsste doch noch irgendein Ereignis wählen, um die Wahrscheinlichkeit 1/10 reinzubringen, oder? kann mir jemand vielleicht mal ein klein wenig einsetzen/umformen, ich komme absolut nicht weiter!?
und auch für b) und c) wär eine Starthilfe ganz nett!
dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Fr 05.06.2009 | | Autor: | gigi |
hallo,
oben wurde gesagt, die Zufallsvariable [mm] U_n [/mm] bedeute, welche Kugel beim n-ten Zug gezogen wird. Ich find es jedoch logischer, zu betrachten, welche Kugeln in ALLEN n Würfen gezogen worden sind, oder??
Für die Wahrscheinlichkeiten habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] P(U_1)= \vektor{10\\1} (\bruch{1}{10})
[/mm]
[mm] P(U_2)= \vektor{10\\2} (\bruch{1}{10})(\bruch{1}{9})................
[/mm]
[mm] P(U_n)= \vektor{10\\n} (\bruch{(10-n)!}{10!})
[/mm]
Stimmt das so? Und wie berechne ich [mm] P(U_1\cap U_2\cap.....\cap U_n)? [/mm] Wär echt nett, wenn mir jemand helfen könnte! Und stimmt nun mein Ansatz zur Unabhängigkeit von weiter oben?
Gruß und Danke
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Hallo gigi,
du musst unterscheiden zwischen den Zufallsvariablen [mm] U_{1}, U_{2},... U_{n} [/mm] und den Werten, die sie jeweils annehmen können, also 0,1,2,...,9. D.h. z.B. [mm] U_{1} [/mm] ist nicht eine bestimmte Zahl zwischen 0 und 9, sondern sie kann jeden Wert zwischen 0 und 9 annehmen, je nachdem welche Kugel beim ersten Mal gezogen wird. Das ist gemeint mit "Die entsprechenden Resultate seien [mm] U_{1},U_{2},...,U_{n}. [/mm] Das Ereignis, dass Kugel Nr. 3 beim ersten Mal gezogen wird, wäre dann [mm] P(U_{1}=3), [/mm] nicht [mm] U_{3}!
[/mm]
Mit der Unabhängigkeit: Dein Ansatz stimmt nicht, eben weil du die [mm] U_{j} [/mm] wie Ereignisse behandelt hast [selbst wenn es Ereignisse wären, würde dein Ansatz nicht ausreichen, sondern du müsstest zusätzlich noch paarweise Unabhängigkeit zeigen]
Wann mehrere Zufallsvariablen unabhängig sind, ist z.B. hier definiert: http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws03_04/wr/skript/node32.html
Das ist alles ganz schön abstrakt, ich weiß, schaus Dir mal in Ruhe an und versuch dich dann nochmal an der Lösung.
Viele Grüße,
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 07.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> In einer Urne befinden sich 10 Kugeln mit den Nummern
> 0,1,2,...,9. Es wird n-mal mit Zurücklegen gezogen. Die
> entsprechenden Resultate seien [mm]U_1,U_2,...,U_n.[/mm]
> a) Zeige die Unabhängigkeit der Zufallsgrößen [mm]U_j,[/mm]
> j=1,2,...,n
>
> a)nun für die Unabhängigkeit muss ja gelten: [mm]P(U_1\cap U_2\cap....\cap U_n)=P(U_1)P(U_2)...P(U_n)[/mm]
Zwei Bemerkungen:
1.) die Gleichung, die du damit meinst, müsste man
anders notieren, z.B.
[mm] $P(U_1=u_1\cap U_2=u_2\cap [/mm] .... [mm] \cap U_n=u_n)=\produkt_{i=1}^{n}P(U_i=u_i)$
[/mm]
2.) diese Gleichung allein würde noch keineswegs Unab-
hängigkeit der n Ereignisse garantieren, falls n>2 !
> .......
Hallo !
Die Aufgabe a) ist nach meiner Ansicht unsinnig !
Die Unabhängigkeit der nacheinander erfolgenden
Ziehungen kann man nicht mathematisch beweisen,
sondern die Unabhängigkeit gehört hier zu den
Voraussetzungen für die wahrscheinlichkeits-
theoretische Behandlung, die implizit mit der
Bedingung, dass es sich um "Ziehungen mit Zurück-
legen" handeln soll, angedeutet ist.
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 So 07.06.2009 | | Autor: | abakus |
> > In einer Urne befinden sich 10 Kugeln mit den Nummern
> > 0,1,2,...,9. Es wird n-mal mit Zurücklegen gezogen. Die
> > entsprechenden Resultate seien [mm]U_1,U_2,...,U_n.[/mm]
> > a) Zeige die Unabhängigkeit der Zufallsgrößen [mm]U_j,[/mm]
> > j=1,2,...,n
> >
> > a)nun für die Unabhängigkeit muss ja gelten: [mm]P(U_1\cap U_2\cap....\cap U_n)=P(U_1)P(U_2)...P(U_n)[/mm]
>
>
> Zwei Bemerkungen:
>
> 1.) die Gleichung, die du damit meinst, müsste man
> anders notieren, z.B.
> [mm]P(U_1=u_1\cap U_2=u_2\cap .... \cap U_n=u_n)=\produkt_{i=1}^{n}P(U_i=u_i)[/mm]
>
> 2.) diese Gleichung allein würde noch keineswegs Unab-
> hängigkeit der n Ereignisse garantieren, falls n>2 !
>
> > .......
>
>
>
> Hallo !
>
> Die Aufgabe a) ist nach meiner Ansicht unsinnig !
> Die Unabhängigkeit der nacheinander erfolgenden
> Ziehungen kann man nicht mathematisch beweisen,
> sondern die Unabhängigkeit gehört hier zu den
> Voraussetzungen für die wahrscheinlichkeits-
> theoretische Behandlung, die implizit mit der
> Bedingung, dass es sich um "Ziehungen mit Zurück-
> legen" handeln soll, angedeutet ist.
>
> Al-Chwarizmi
Hallo Al-Chwarizmi,
offensichtlich befinden wir uns hier noch bei Aufgaben, die das Grundverständnis stochastischer Problemstellungen betreffen.
Da geht es nicht unbedingt um streng axiomatische Beweise.
Die Zufallsgrößen sind schlicht und ergreifend deshalb unabhängig, weil es sich um den Typ "Ziehen mit Zurücklegen" handelt. Für jeden neuen Versuch sind wieder die gleichen Ausgangsbedingungen hergestellt: eine gezogene Zahl hängt nicht davon ab, welche Zahl vorher gezogen wurde. Jeder Zahl hat in jedem Versuch die Wahrscheinlichkeit 0,1. Deshalb liegt eine Unabhängigkeit vor.
Gruß Abakus
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> > Die Aufgabe a) ist nach meiner Ansicht unsinnig !
> > Die Unabhängigkeit der nacheinander erfolgenden
> > Ziehungen kann man nicht mathematisch beweisen,
> > sondern die Unabhängigkeit gehört hier zu den
> > Voraussetzungen für die wahrscheinlichkeits-
> > theoretische Behandlung, die implizit mit der
> > Bedingung, dass es sich um "Ziehungen mit Zurück-
> > legen" handeln soll, angedeutet ist.
> >
> > Al-Chwarizmi
> Hallo Al-Chwarizmi,
> offensichtlich befinden wir uns hier noch bei Aufgaben,
> die das Grundverständnis stochastischer Problemstellungen
> betreffen.
> Da geht es nicht unbedingt um streng axiomatische
> Beweise.
> Die Zufallsgrößen sind schlicht und ergreifend deshalb
> unabhängig, weil es sich um den Typ "Ziehen mit
> Zurücklegen" handelt. Für jeden neuen Versuch sind wieder
> die gleichen Ausgangsbedingungen hergestellt: eine gezogene
> Zahl hängt nicht davon ab, welche Zahl vorher gezogen
> wurde. Jeder Zahl hat in jedem Versuch die
> Wahrscheinlichkeit 0,1. Deshalb liegt eine Unabhängigkeit
> vor.
> Gruß Abakus
Na eben - genau das wollte ich ja auch zum Ausdruck
bringen !
Ich fürchte nur, dass der Aufgabensteller sich unter
dem geforderten Nachweis der Unabhängigkeit eine
Rechnung vorgestellt hat, in welcher zum Beispiel
gezeigt wird, dass
[mm] $P(U_i=u_i \cap U_j=u_j)=P(U_i=u_i)*P(U_j=u_j)$
[/mm]
indem man vorher die auswendig gelernten Formeln
für Ziehungen ohne Zurücklegen anwendet, welche
sich genau auf die Unabhängigkeit stützen, die eigent-
lich "bewiesen" werden soll. Damit hätte man einen
Beweis einer Aussage, für den die Gültigkeit der Aussage
implizit vorausgesetzt wird - und das wäre eben wirklich
unsinnig.
Wirklich "beweisen" können wir z.B. nicht einmal, dass
beim realen Experiment etwa der Ziehung der Ziffern
der "Super 6"-Zahl die einzelnen Ziehungen wirklich
unabhängig voneinander sind. Wir haben nur sehr
gute Argumente dafür, dass es vermutlich in sehr
hohem Grade der Fall ist. Anhänger von parapsycho-
logischen Theorien haben da aber möglicherweise
ganz andere Ansichten - mit letzter Sicherheit können
wir diese nicht mit mathematischen Argumenten allein
widerlegen. Das Problem mit den Parapsychos verschie-
denster Couleur ist nur: wenn man nur die leiseste
Andeutung in der Richtung macht (wie ich es eben
gerade getan habe), dass man ihre Phantasien nicht
mit absoluter Sicherheit wissenschaftlich widerlegen
könne, dann ist das für sie schon wieder Wasser auf
ihre sonderbaren Mühlen 
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:05 Mo 08.06.2009 | | Autor: | gigi |
hallo!
ja, ich sehe das mit der "Unsinnigkeit" von a) genauso!
Bei der b) habe ich mir mittlerweile etwas einfallen lassen, ist ja auch ganz logisch.
Aber habt ihr evtl. noch eine Idee für die c)??
Besten Dank
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Hallo gigi,
ich habe mir b) und c) erst jetzt angeschaut.
Machen wir zu c) doch ein konkretes Beispiel,
etwa mit $\ [mm] n=3\,\ [/mm] ,\ [mm] a_1=0\ [/mm] ,\ [mm] a_2=6\ [/mm] ,\ [mm] a_3=8\,.$
[/mm]
Gefragt ist dann also:
[mm] $p\,=\,P(\,0.\,U_1 U_2 U_3\,<\,0.068\,)=\ \,?$
[/mm]
Diese Wahrscheinlichkeit können wir nun nach
der Laplace-Formel [mm] p=\bruch{g}{m} [/mm] berechnen,
wobei m die Anzahl aller dreistelligen Zahlen
mit Ziffern von 0 bis 9 ist (Nullen auch vorne
erlaubt), also [mm] m=10^3=1000.
[/mm]
Ferner ist $\ [mm] g=68$\, [/mm] , denn "günstig" sind alle
Ziffernfolgen [mm] 000,001,002,\,.....\,066,067 [/mm] ,
68 an der Zahl.
Die Gleichwahrscheinlichkeit aller 1000 mögli-
chen Ziffernfolgen der Länge 3 (also die Voraus-
setzung für die Anwendung der Formel [mm] p=\bruch{g}{m})
[/mm]
ergibt sich aus der geforderten Unabhängigkeit.
Damit kommen wir auf
[mm] $p=\bruch{g}{m} =\bruch{68}{1000}=0.068$
[/mm]
Nun kann man (wenn es denn verlangt ist) noch
daran gehen, diese Überlegung so zu formulieren,
dass sie "allgemein" ist. Bemerkung: Die eigent-
liche Idee wird damit keinesfalls transparenter !
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mo 08.06.2009 | | Autor: | gigi |
besten dank--sehr verständlich!
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> besten dank-sehr verständlich!
Danke für das angenehme Feedback.
Irgendwie habe ich mir das aber als
Motiv auf meine Fahne für meine
Aktivität im MatheRaum geschrieben:
Möglichst klar verständliche Antworten.
Schönen Abend !
Al-Chw.
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