Unabhängigkeit von 3 Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:46 Do 12.05.2005 | | Autor: | DeusDeorum |
Hi,
Meine Freundin hat mich gerade angerufen und mir gesagt, dass sie folgende Aufgabe dringend bis morgen gelöst haben soll. Allerdings weiss sie überhaupt nicht wie sie vorgehen soll .
"Die Vektoren a,b,c sind linear unabhängig. Zeige die lineare Unabhängigkeit der Vektoren:
a+2b, a+b+c, a-b-c
und zwar durch ein Wiederspruchverfahren "
Unser Problem ist, dass wir immer versuchen ein LGS aufzustellen, jedoch keine ahnung haben, wie wir auf die 3 Zeilen kommen sollen.
Die erste Zeile wäre ja :
r1*(a+2b)+r2* (a+b+c) + r3* (a-b-c) = 0
Wie komme ich jedoch auf weitere 2 Zeilen um die 3 Unbekannten herauszufinden ?! Oder ist das Widerspruchverfahren etwas ganz anderes ? (ich habe davon eigentlich noch nie gehört)
Bitte helft uns, meine Freundin braucht es bis morgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Do 12.05.2005 | | Autor: | DeusDeorum |
Hi,
Meine Freundin hat mich gerade angerufen und mir gesagt, dass sie folgende Aufgabe dringend bis morgen gelöst haben soll. Allerdings weiss sie überhaupt nicht wie sie vorgehen soll .
"Die Vektoren a,b,c sind linear unabhängig. Zeige die lineare Unabhängigkeit der Vektoren:
a+2b, a+b+c, a-b-c
und zwar durch ein Wiederspruchverfahren "
Unser Problem ist, dass wir immer versuchen ein LGS aufzustellen, jedoch keine ahnung haben, wie wir auf die 3 Zeilen kommen sollen.
Die erste Zeile wäre ja :
r1*(a+2b)+r2* (a+b+c) + r3* (a-b-c) = 0
Wie komme ich jedoch auf weitere 2 Zeilen um die 3 Unbekannten herauszufinden ?! Oder ist das Widerspruchverfahren etwas ganz anderes ? (ich habe davon eigentlich noch nie gehört)
Oder ist vieleicht folgendes die Lösung : =?
r1*(a+2b) + r2*(a+b+c) = r3*(a-b-c)
r1*(a+2b)+r3*(a-b-c) = r2*(a+b+c)
r2*(a+b+c) + r3*(a-b-c) = r1*(a+2b)
?
Bitte helft uns, meine Freundin braucht es bis morgen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Do 12.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gott der Götter  ...
> "Die Vektoren a,b,c sind linear unabhängig.
> Zeige die lineare Unabhängigkeit der Vektoren:
> a+2b, a+b+c, a-b-c
> und zwar durch ein Wiederspruchverfahren "
Da die drei genannten Vektoren [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}$ [/mm] gemäß Voraussetzung linear unabhängig sein sollen, existiert für die Linearkombination nur die Triviallösung $r \ = \ s \ = \ t \ = \ 0$
[mm] $r*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{b} [/mm] + [mm] t*\vec{c} [/mm] \ = \ [mm] \vec{0}$ [/mm]
Mit dem Widerspruchsbeweis sollst Du nun folgendermaßen vorgehen.
Behauptung:
Die drei Vektoren [mm] $(\vec{a} [/mm] + [mm] 2*\vec{b})$, $(\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c})$ [/mm] sowie [mm] $(\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{c})$ [/mm] seien linaer abhängig.
Damit muß für die Linearkombination auch eine nicht-triviale Lösung (s.o.) existieren:
[mm] $u*(\vec{a} [/mm] + [mm] 2*\vec{b}) [/mm] + [mm] v*(\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c}) [/mm] + [mm] w*(\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{c}) [/mm] \ = \ [mm] \vec{0}$
[/mm]
Durch Umformen / Zusammenfassen der linken Gleichungsseite mußt Du nun einen Widerspruch erzeugen, sprich: Du mußt zeigen, es gibt nur die Triviallösung $u \ = \ v \ = \ w \ = \ 0$
Verstanden? Probier' das mal ...
Gruß
Loddar
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