Unabhängigkeit von Ereignissen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:34 Do 25.05.2006 | | Autor: | JuliaDi |
| Aufgabe | | Es wird n mal eine Münze geworfen. [mm] A_i, [/mm] i = 1,...,n sei das Ereignis, dass beim iten Wurf Kopf fällt und [mm] A_n+1 [/mm] das Ereignis, dass insgesamt eine gerade Zahl von Köpfen fällt. Zeige, dass diese n+1 Ereignisse nicht unabhängig sind, dass jedoch jeweils n von ihnen unabhängig sind |
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen
Kuss
Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Es wird n mal eine Münze geworfen. [mm]A_i,[/mm] i = 1,...,n sei das
> Ereignis, dass beim iten Wurf Kopf fällt und [mm]A_n+1[/mm] das
> Ereignis, dass insgesamt eine gerade Zahl von Köpfen fällt.
> Zeige, dass diese n+1 Ereignisse nicht unabhängig sind,
> dass jedoch jeweils n von ihnen unabhängig sind
> Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen
Was bedeutet es denn, wenn Ereignisse abhaengig sind? Oder wenn sie unabhaengig sind? Sprich: was muesstest du nachpruefen?
Zu der Aufgabe: Der Trick ist hierbei, dass beliebige $n$ der Ereignisse den Ausgang des uebrigbleibenden schon festlegen. Womit alle $n+1$ zusammen nicht unabhaengig sein koennen (unabhaengig heisst ja anschaulich: unabhaengig von den Ausgaengen der anderen Ereignisse).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Do 25.05.2006 | | Autor: | Snapper |
Genau dasselbe habe ich mich auch gefragt.
Hat jemand vielleicht schon geschafft die Aufgabe auszurechnen```???
Welcher Ansatz wäre hier am besten??
Schönen Feiertag noch euch allen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 25.05.2006 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | | Es wird n mal eine Münze geworfen [mm] A_{i} [/mm] , i = 1.....n sei das Ereigniss, dass beim iten Wurf Kopf Fällt und [mm] A_{n+1} [/mm] das Ereignis dass Insgesamt eine Gerade anZahl von Köpfen fällt. Zeigen Sie, dass diese n+1 Ereinisse nicht unabhänging sind, dass jedoch jeweils n von ihnen unabhängig sind. |
Hi Leute
Ich weiß, dass ja [mm] P(A_{i}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für alle i
Nun muss ich ja Überprüfen:
P( [mm] \bigcap_{i=1}^{n} A_{i} [/mm] ) = [mm] \produkt_{i=1}^{n} P(A_{i}) [/mm]
dass wollte ich so machen:
P( [mm] \bigcap_{i=1}^{n} A_{i} [/mm] ) = ( [mm] \bruch{1}{2} )^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*...*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} P(A_{i}) [/mm]
weiter muss ich zeigen:
P( [mm] \bigcap_{i=1}^{n+1} A_{i} [/mm] ) [mm] \not= \produkt_{i=1}^{n+1} P(A_{i}) [/mm]
Hier weiß ich allerdings nicht wie ich es aufschreiben soll. Mir ist schon klar dass sie auf jedenfall abhängig sein müssen aber wie ich es jetzt genau schauschreiben soll weiß ich nicht.
Bitte um Hilfe
Dann soll ich noch zeigen :
P( [mm] \bigcap_{i=1}^{n+1} A_{i} [/mm] ) = [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} P(A_{i}) [/mm] für alle i [mm] \not= [/mm] j
allerdings habe ich hier keine ahnung warum ich das noch zeigen muss.
Vielen dank für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es wird n mal eine Münze geworfen [mm]A_{i}[/mm] , i = 1.....n sei
> das Ereigniss, dass beim iten Wurf Kopf Fällt und [mm]A_{n+1}[/mm]
> das Ereignis dass Insgesamt eine Gerade anZahl von Köpfen
> fällt. Zeigen Sie, dass diese n+1 Ereinisse nicht
> unabhänging sind, dass jedoch jeweils n von ihnen
> unabhängig sind.
> Hi Leute
>
> Ich weiß, dass ja [mm]P(A_{i})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] für alle i
>
> Nun muss ich ja Überprüfen:
>
> P( [mm]\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}[/mm] ) = [mm]\produkt_{i=1}^{n} P(A_{i})[/mm]
Das reicht nicht. Du musst auch alle Produkte ueber Teilmengen von [mm] $\{ 1, \dots, n \}$ [/mm] bilden... Fuer die gehts aber genauso.
> dass wollte ich so machen:
>
> P( [mm]\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}[/mm] ) = ( [mm]\bruch{1}{2} )^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*...*\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} P(A_{i})[/mm]
Warum gilt das erste Gleichheitszeichen? Das solltest du schon etwas begruenden :)
> weiter muss ich zeigen:
> P( [mm]\bigcap_{i=1}^{n+1} A_{i}[/mm] ) [mm]\not= \produkt_{i=1}^{n+1} P(A_{i})[/mm]
> Hier weiß ich allerdings nicht wie ich es aufschreiben
> soll.
Mach doch eine Fallunterscheidung: [mm]P(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_{i}) = P(A_{n+1}) P( \bigcap_{i=1}^{n+1} A_{i} \mid A_{n+1}) + (1 - P(A_{n+1})) P(\bigcap_{i=1}^{n+1} A_{i} \mid \Omega \setminus A_{n+1})[/mm]. Was kommt heraus (erstmal ist das abhaengig davon, ob $n$ gerade oder ungerade ist; spaeter siehst du dann das trotzdem das gleiche herauskommt)?
Und was ist [mm] $\produkt_{i=1}^{n+1} P(A_{i})$?
[/mm]
> Dann soll ich noch zeigen :
>
> P( [mm]\bigcap_{i=1}^{n+1} A_{i}[/mm] ) = [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} P(A_{i})[/mm]
> für alle i [mm]\not=[/mm] j
> allerdings habe ich hier keine ahnung warum ich das noch
> zeigen muss.
Nun, bisher hast du ja nur gezeigt: [mm] $A_1, \dots, A_n$ [/mm] sind unabhaengig und [mm] $A_1, \dots, A_n, A_{n+1}$ [/mm] sind abhaengig. Du musst aber noch zeigen, dass jeweils $n$ Ereignisse von [mm] $A_1, \dots, A_n, A_{n+1}$ [/mm] unabhaengig sind.
Da du das fuer eine Auswahl (alle ausser [mm] $A_{n+1}$) [/mm] schon gezeigt hast, musst du es nur noch fuer alle anderen Auswahlen zeigen. Also nimmst du jeweils ein $j [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] und betrachtest alle bis auf [mm] $A_j$.
[/mm]
Genauso wie ganz oben musst du auch wieder endliche Teilprodukte davon betrachten... (Was aber auch wieder genauso geht...)
LG Felix
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