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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:40 Di 27.05.2014 | | Autor: | mikexx |
Es gelte das lineare Modell mit der Annahme, dass [mm] $Y\sim N(X\theta,\sigma^2 E_n)$ [/mm] und [mm] $\text{rang}(X)=\text{rang}(\theta)$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\hat{e}$ [/mm] und [mm] $\hat{\theta}$ [/mm] unabhängige Zufallsvektoren sind; hierbei bezeichnet [mm] $\hat{\theta}$ [/mm] den kleinsten Quadratschätzer für die Regressionskoeffizienten und [mm] $\hat{e}$ [/mm] den Schätzer für die Residuen.
Hallo,
ich habe schon herausgefunden, dass
[mm] $\hat{\theta}\sim N(\theta,\sigma^2 (X'X)^{-1}),~~\hat{e}\sim N(0,\sigma^2(E_n-\mathcal{P}_M))$, [/mm] wobei [mm] $E_n$ [/mm] die n-dimensionale Einheitsmatrix und [mm] $\mathcal{P}_M$ [/mm] die Projektionsmatrix zum Modellraum [mm] $M=\left\{X\theta: \theta\in\mathbb{R}^k\right\}$ [/mm] ist.
Jetzt müsste ich aber noch irgendwie wissen, was die gemeinsame Dichte für [mm] $\hat{e}$ [/mm] und [mm] $\hat{\theta}$ [/mm] ist, aber das weiß ich nicht.
Wie bekomme ich die gemeinsame Dichte oder ist die irgendwie aus einer Modellannahme ableitbar bzw. angenommen?
Viele Grüße
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 27.05.2014 | | Autor: | mikexx |
Hallo, ich habe die Aufgabenstellung editiert; sie ergab vorher keinen Sinn.
Sorry!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 29.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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