Unbekannte Matrix ermitteln < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 23.07.2007 | | Autor: | moe2k |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus alle Lösungen von
X · $ [mm] \pmat{ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \\ -3 & -2 & -3 } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ -6 & -1 & -8 \\ -6 & -1 & -8 \\ -6 & -1 & -8 } [/mm] $ |
Ich kriegs einfach nicht hin.
Kann mir wer helfen das zu lösen?
Formell geprüft kommt raus:
3/5 x 5/3 = 3/3
müsste also gehen oder nicht?
Nur wenn ich jetzt Transponiere und dann mitm GJA dadurch gehe komm ich immer nur auf viel zu kleine Matrizen bzw. einfach unpassende.
Wäre echt super, wenn mir sagen kann, ob das Formell schon nicht geht, oder ob man da noch was machen muss oder so...
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Mo 23.07.2007 | | Autor: | twoways |
Also die Matrix, ist ja erstmal schon verdächtig, dass man Sie reduzieren kann.
Denn deine Matrix enthält schonmal 3 Nullzeilen auf der linken Seite.
Auf der rechten Seite haben wir das selbe wieder, 3x selbe Zeile. Damit reicht eine Zeile vollkommen aus.
Es steht da also:
X · [mm] \pmat{ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ -6 & -1 & -8 }
[/mm]
und damit kannst Du nun sauber den Gaus - Algorithmus durchführen.
Da links aber die 0 Zeile ist, wird ein x, ein Parameter sein, den du dann beliebig setzten kannst. Ich hoffe, ich habe Dir damit etwas geholfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 23.07.2007 | | Autor: | moe2k |
Hallo.
Vielen Dank für die Hilfe erstmal!!!
Komisch find ich nur, dass ich mir in meinen Unterlagen einmal aufgeschrieben habe, dass man "nicht kürzen" soll.
Unser Prof ist da möglicherweise etwas "fies" - hat man abundzu den Eindruck :D - und möchte vielleicht echt sehen, wie es geht mit genau diesen Matrizen.
Vielleicht auch nicht. Ist es denn allgemein möglich/üblich zu kürzen vorher?
Da ich leider viel zu wenig Ahnung habe von dem Thema...
Ich hätte jetzt nur gedacht, dass man ohne zu kürzen es lösen soll.
Müsste doch eigentlich auch gehen oder? Grade wenn es Formell eigentlich geht - nur leider kommt beim GJA dann aus meiner Sicht nur Müll raus. Wobei das wieder für Kürzen sprechen würde...
Wäre super, wenn mir da einer was genaues sagen könnte - ansonsten muss ich gucken, dass ich den Prof mal erwische, was nur leider fast unmöglich ist...
Danke nochma!
Gruß moe
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> Vielleicht auch nicht. Ist es denn allgemein möglich/üblich
> zu kürzen vorher?
EDITIERT bzw. bis auf weiteres gelöscht, weil es möglicherweise nicht richtig war.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mo 23.07.2007 | | Autor: | dormant |
Stimmt nicht (s. Korrekturmitteilung):
Hi!
Auf twoways Antwort stützend:
[mm] X*\pmat{ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }=\pmat{ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & 3 }*X^{T}=\pmat{ -6 & -1 & -8 }.
[/mm]
[mm] X^{T} [/mm] ist dabei ein Spaltenvektor mit 3 Einträgen. Jetzt löst du das einfach wie ein LGS mit dem Gauß-Algorithmus.
Gruß,
dormant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:00 Mo 23.07.2007 | | Autor: | moe2k |
Hallo.
Hat sich wohl grad etwas mit meinem Schrieb überschnitten...
Wäre also cool, wenn erstma geklärt werden könnte OB man vorher "kürzen" kann. Aber wenn ihr sagt ja wird das wohl der richtige Weg sein (sonst säh die Matrix wahrscheinlich auch nicht so aus - außer es ist ne Finte )
Jetzt frage ich mich nur leider wie ich das lösen soll.
Bisher hatten wir nur Matrizen, die "passten" - also beide hatten gleich viele Zeilen.
Wie kann ich denn jetzt den GJA oder Gauß Algorithmus anwenden?
Normalerweise schreib ich beim GJA die Matrix B auf die linke Seite und die Ergebnismatrix nach rechts - also T3. Hier müsste ich dann ja die 2. Zeile mit Nullen auffüllen oder wie?!
Ps.
Könntet ihr mir vielleicht kurz direkt beantworten wofür der Gauß-Algorithmus eigentlich gut ist?!
Kenne bisher nur den GJA.
Dabei hab ich eigentlich echt das Semester über mal gut aufgepasst. Scheint wohl echt bisschen an den eigenwilligen Vorlesungen zu liegen - oder an mangelnder selbsständigkeit :(
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:55 Mo 23.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Kleiner Fehler :)
AB=c ist zu [mm] (AB)^{T}=c^{T} [/mm] äquivalent, was wiederum das gleiche ist wie [mm] B^{T}A^{T}=c^{T}. [/mm] Deswegen soll da Folgendes stehen:
[mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ -2 & 3}*X^{T}=\vektor{-6 \\ -1 \\ -8}.
[/mm]
Dabei ist X ein Spaltenvektor mit 2 Einträgen. Jetzt hast du ein überbestimmtes LGS, das sich mittels Gauß-Verfahren lösen lässt.
Außerdem - ja, man darf kürzen, da die überflüssigen Spalten keine Information enthalten - die können aus den anderen linear kombiniert werden.
Gruß,
dormant
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:14 Mo 23.07.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
>
> [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ -2 & 3}*X^{T}=\vektor{-6 \\ -1 \\ -8}.[/mm]
Hallo,
durch Lösen dieses Gleichungssystems bekommst Du nicht die gesuchte Matrix X. Diese Matrix X muß ja eine 3x5 Matrix sein.
Die Matrix X, welche man durch Deine Vorgehensweise erhält, ist eine 1x2-Matrix.
Und es kommt fast noch schlimmer: das GS [mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ -2 & 3}*X^{T}=\vektor{-6 \\ -1 \\ -8} [/mm] hat gar keine Lösung,
was am "Kürzen" liegt. Das warst aber nicht Du...
Das ist beim "Schrumpfen" der Ausgangsgleichung passiert. Hier wurden Zeilenumformungen durchgeführt und Nullzeilen gestrichen, nur muß das bei einem GS ja simultan auf beiden Seiten passieren. Hier würden beide Seiten unabhängig voneinander "gekürzt", was natürlich zu einer völligen Veränderung des GSs führt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 02:30 Di 24.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ -2 & 3}*X^{T}=\vektor{-6 \\ -1 \\ -8}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> durch Lösen dieses Gleichungssystems bekommst Du nicht die
> gesuchte Matrix X. Diese Matrix X muß ja eine 3x5 Matrix
> sein.
Streng genommen hast du recht. Ich kriege einen 1x2 Vektor, was der Matrix entspricht, nur ohne linear abhängige Spalten und der willkürlichen Zeile, die der Nullzeile auf der rechten entspricht.
Die Lösung stimmt sogar mit deiner überein, nur, dass meine Version keine s, t, r [mm] \in\IR [/mm] beliebig enthält.
> Die Matrix X, welche man durch Deine Vorgehensweise
> erhält, ist eine 1x2-Matrix.
Ein Vektor, genau. [mm] X^{T} [/mm] ist also ein 2x1 Spaltenvektor. Damit kann man die "übliche" Gauß-Elimination durchführen.
> Und es kommt fast noch schlimmer: das GS [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ -2 & 3}*X^{T}=\vektor{-6 \\ -1 \\ -8}[/mm]
> hat gar keine Lösung,
> was am "Kürzen" liegt. Das warst aber nicht Du...
Doch X=(1 -2), wie gesagt - genau deine Lösung.
> Das ist beim "Schrumpfen" der Ausgangsgleichung passiert.
> Hier wurden Zeilenumformungen durchgeführt und Nullzeilen
> gestrichen, nur muß das bei einem GS ja simultan auf beiden
> Seiten passieren. Hier würden beide Seiten unabhängig
> voneinander "gekürzt", was natürlich zu einer völligen
> Veränderung des GSs führt.
Jein. Da muss man natürlich aufpassen, was mit den anderen Matrizen in der Gleichung passiert, aber zu einer Veränderung des GSs führt es nicht. Inhaltlich jedenfalls - man hat zum Schluss nur die wesentliche Information, die man natürlich beliebig entarten kann. Beide Seiten wurde ja außerdem entsprechend angepasst.
Ich muss aber zugeben, dass mein Vorschlag nicht pädagogisch-korrekt und auf dem ersten Blick verwirrend ist.
Gruß,
dormant
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 08:29 Di 24.07.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> > Und es kommt fast noch schlimmer: das GS [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 3 & 2 \\ -2 & 3}*X^{T}=\vektor{-6 \\ -1 \\ -8}[/mm]
> > hat gar keine Lösung,
> > was am "Kürzen" liegt. Das warst aber nicht Du...
>
> Doch X=(1 -2), wie gesagt - genau deine Lösung.
Hallo,
da hast Du völlig recht. Ich unterlag der Unfähigkeit, eine negative Zahl korrekt von einer anderen zu subtrahieren.
Das mit den "Streichungen" müßte ich mir nochmal genau überlegen - möglicherweise war ich diesbezüglich vorschnell.
Ich habe eine diesbezügliche Antwort an moe2k vom Inhalt befreit.
Gruß v. Angela
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe inhaltlich nichts mehr beizusteuern, nur eine Anmerkung zur Sprache: es heißt "die Matrix", nicht die Matrize. Eine Matrize ist etwas anderes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Mo 23.07.2007 | | Autor: | moe2k |
Oh gut zu wissen.
Wiki hat aufgeklärt - danke :D
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> Bestimmen Sie mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus alle Lösungen
> von
> X · [mm]\pmat{ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \\ -3 & -2 & -3 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ -6 & -1 & -8 \\ -6 & -1 & -8 \\ -6 & -1 & -8 }[/mm]
Hallo,
ich will Dir meinen Lösungsweg vorstellen.
Es ist ja
X · [mm]\pmat{ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \\ -3 & -2 & -3 }[/mm] = [mm]\pmat{ -6 & -1 & -8 \\ -6 & -1 & -8 \\ -6 & -1 & -8 }[/mm]
<==> (transponieren)
[mm] \pmat{ 0 & 3& 0 & 0&-3\\ 3 & 2& 0 & 6&-2\\-2 & 3& 0 & -4&-3} X^t=\pmat{ -6 & -6 & -6 \\ -1 & -1 & -1 \\ -8 & -8 & -8 }
[/mm]
[mm] X^t [/mm] ist eine 5x3-Matrix, besteht also aus 3 Spaltenvektoren x,y,z [mm] \in \IR^5. [/mm] Also [mm] X^t=(x [/mm] y z).
Somit hat man
[mm] \pmat{ 0 & 3& 0 & 0&-3\\ 3 & 2& 0 & 6&-2\\-2 & 3& 0 & -4&-3} [/mm] (x y z) [mm] =\pmat{ -6 & -6 & -6 \\ -1 & -1 & -1 \\ -8 & -8 & -8 }.
[/mm]
Die Lösung dieses Gleichungssystems läuft darauf hinaus, simultan die Systeme
[mm] \pmat{ 0 & 3& 0 & 0&-3\\ 3 & 2& 0 & 6&-2\\-2 & 3& 0 & -4&-3} [/mm] x [mm] =\pmat{ -6 \\ -1 \\ -8 },
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 3& 0 & 0&-3\\ 3 & 2& 0 & 6&-2\\-2 & 3& 0 & -4&-3} [/mm] y [mm] =\pmat{ -6 \\ -1 \\ -8 } [/mm] und
[mm] \pmat{ 0 & 3& 0 & 0&-3\\ 3 & 2& 0 & 6&-2\\-2 & 3& 0 & -4&-3} [/mm] z [mm] =\pmat{ -6 \\ -1 \\ -8 } [/mm] zu lösen,
was vielleicht erklärt, daß man den gewohnten Gaußalgorithmus verwenden kann.
Es geht einem sofort auf, daß sich die Lösungen für x,y und z nicht sonderlich unterscheiden.
Wenn ich das Ganze mit dem Gauß-Schema rechne, komme ich auf folgendes - leg mich hier bitte nicht auf einzelne Zahlen fest, gut möglich, daß ich mich irgendwo verrechnet habe, es geht zunächst ums Prinzip:
[mm] \pmat{ 1 & 0& 0 & 2&-5\\ 0 & 1& 0 & 0&-1\\0 & 0& 0 & 0&0}| \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hieraus ergibt sich für x (erste Spalte der rechten Seite betrachten)
[mm] x=\vektor{1-2s_1+5t_1 \\ -2+t_1\\r_1\\s_1\\t_1} [/mm] , [mm] r_1, s_1, t_1 [/mm] beliebig aus [mm] \IR.
[/mm]
y,z entsprechend.
Hiermit weißt Du dann, von welcher Machart die Spalten der Matrix [mm] X^t [/mm] sind, und für X mußt Du dann noch transponieren. Du siehst, daß es viele Matrizen gibt, die obige Gleichung lösen.
Ich habe wie gesagt nichts nachgerechnet, ich hoffe, daß Du das Prinzip verstehst.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 21:03 Di 24.07.2007 | | Autor: | moe2k |
Hallo.
Erstma vielen herzlichen Dank für diese schnelle und gute Lösung!
Nungut, wie Du es nun gelöst hast kann ich nachvollziehen - klingt für mich auch logisch.
"Leider" haben wie Lin Alg nur recht kurz und knapp gelernt möchte ich mal sagen.
Bisher sahen alle Übungsaufgaben so aus, dass man sie entweder direkt mitm GJA oder halt erst transponieren und dann mitm GJA einfach lösen konnte, indem man dann rechts (GJA-T3) die Matrix ablesen konnte und fertig.
Anfangs bei zwei Aufgaben hatten wir es aber auch schon mit diesen Rautenelementen und so für unendlich viele Lösungen (also bei dir hier r,s,t). Wäre jetzt zum einen nicht darauf gekommen, die Ergebnismatrix und X so aufzuteilen...
Na dann bin ich ja echt mal auf die Klausur gespannt! :(
Danke nocheinmal!
Gruß moe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 24.07.2007 | | Autor: | moe2k |
Entschuldigt, wenn ich nocheinmal hier poste (und es womöglich hier nicht hinpasst). Kann aber als Newbie auch keine PN's verschicken...
Wäre super froh, wenn mir einer von euch - angela Du vielleicht? - eine Software nennen könntet, die GJA kann und vielleicht auch Matrizenmultiplikation.
Kostenlose wie "tkmatrix" und "wingsa" sind zwar doch schon sehr praktisch aber leider bei weitem nicht vollkommen.
Bei tkmatrix kann man eigentlich nur Gauß und GJA machen. Und bei wingsa ist eigentlich nur die Matrizenmultiplikation (sieht aus wie wenn man das Falkschema selber machen würde!).
Mupad oder Maple find ich taugen nichts für Lin Alg - oder wisst ihr es besser?
Ich brauche eigentlich "nur" GJA und Multiplikation. Transponieren ist ja kein Ding. Inverse bilden geht eigentlich auch noch - das geht auch gut mit tkmatrix.
Utopisch wäre noch ein Programm für den Gauß Laplace Algorithmus :)
Wisst ihr zufällig ein passendes? Hab bei Mathesoftware nichts gefunden. Wenn ihr hier nichts wisst sollte ich die Frage vielleicht dort nochmal posten...
Achja und noch eine Kleinigkeit. Wofür brauche ich den Gaußalgorithmus nun eigentlich? Bisher konnte ich alles mimt GJA "besser" lösen - bzw. ich weiß überhaupt nicht wofür der Gauß (von euch hier abundzu erwähnt) gut ist?! Wiki hilft leider auch nicht wirklich...
Danke im Voraus!
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Hallo,
zum Thema "software" kann ich Dir überhaupt nichts sagen. Ich bin froh, daß ich meinen 25Jahre alten Taschenrechner bedienen, den Computer einschalten und mit dem Formeleditor im Matheraum umgehen kann...
> Achja und noch eine Kleinigkeit. Wofür brauche ich den
> Gaußalgorithmus nun eigentlich? Bisher konnte ich alles
> mimt GJA "besser" lösen - bzw. ich weiß überhaupt nicht
> wofür der Gauß (von euch hier abundzu erwähnt) gut ist?!
> Wiki hilft leider auch nicht wirklich...
Da brauchst Du Dir keinen Kopf drum zu machen.
Gauß-Algorithmus und Gauß-Jordan-Algorithmus lösen beide lineare Gleichungssysteme.
Ich unterscheide die beiden gar nicht so genau.
Der Gaußalgorithmus ist zu Ende, wenn die Matrix in Zeilenstufenform vorliegt - für die Bestimmung des Ranges einer Matrix z.B. reicht das ja völlig.
Beim Gauß-Jordan-Algorithmus macht man dann noch weiter und läßt alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen verschwinden, so daß man die Lösung eines inhomogenen linearen GS sofort ablesen kann.
Das ist aus der Sicht einer Handrechnerin geschrieben.
Gruß v. Angela
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Hi,
wie wär's mit MATLAB? So weit ich weiß, ist MATLAB auf Matrizen spezialisiert.
Gruß,
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Di 24.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich hab mir das ganze jetzt nicht so genau durchgelesen, aber ich wollt auch noch kurz meinen Senf zum Thema abgeben  Falls das schon jemand gesagt hat, bitte ignorieren!
Also, ich nenn mal $A := [mm] \pmat{ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -4 \\ -3 & -2 & -3 }$ [/mm] und $B := [mm] \pmat{ -6 & -1 & -8 \\ -6 & -1 & -8 \\ -6 & -1 & -8 }$. [/mm] Dann haben wir das Gleichungssystem $X [mm] \cdot [/mm] A = B$.
So, wenn man jetzt $A$ auf reduzierte Zeilenstufenform [mm] $\tilde{A}$ [/mm] ueberfuehrt, dann bekommt man ja eine invertierbare Matrix $S$ mit $S A = [mm] \tilde{A}$. [/mm] Insbesondere hat man dann die Gleichung $X [mm] S^{-1} [/mm] S A = B$, also $(X [mm] S^{-1}) \tilde{A} [/mm] = B$.
Nun hat man folgendes: ist $Y$ eine Loesung von $Y [mm] \cdot \tilde{A} [/mm] = B$, so ist $X := Y S$ eine Loesung von $X [mm] \cdot [/mm] A = B$. Und umgekehrt, ist $X$ eine Loesung von $X [mm] \cdot [/mm] A = B$, so ist $Y := X [mm] S^{-1}$ [/mm] eine Loesung von $Y [mm] \cdot \tilde{A} [/mm] = B$.
Also reicht es aus, alle Loesungen $Y$ von $Y [mm] \cdot \tilde{A} [/mm] = B$ zu bestimmen: durch Multiplikation mit $S$ von Rechts bekommt man dann alle Loesungen von $X [mm] \cdot [/mm] A = B$.
Nun sieht man schnell, dass die reduzierte Zeilenstufenform von $A$ die Form [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 5/9 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$ [/mm] hat. Da $Y$ eine $3 [mm] \times [/mm] 5$-Matrix ist, sind die letzten drei Spalten von $Y$ schoneinmal beliebig. Die ersten beiden Spalten von $Y$ kann man sofort ablesen (da der obere $2 [mm] \times [/mm] 2$-Block von [mm] $\tilde{A}$ [/mm] die Einheitsmatrix ist) und man muss nur noch verifizieren, dass diese Spalten der durch die dritte Spalte von [mm] $\tilde{A}$ [/mm] und $B$ gegebenen Bedingung genuegen (wenn sie das nicht tun, gibt es keine Loesung).
Das ist jetzt vielleicht nicht die einfachste Moeglichkeit, die Aufgabe zu loesen, aber vielleicht interessiert das ja irgendjemanden  (Die einfachste Moeglichkeit ist wohl alles transponieren und das dann in mehrere Gleichungssysteme aufteilen, wie das glaub ich in den anderen Beitraegen beschrieben wurde.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mi 25.07.2007 | | Autor: | moe2k |
Nabend.
Danke auch für diesen interessanten Ansatz die Aufgabe zu lösen!
Leider kann ich es nicht wirklich nachvollziehen, da ich echt zuwenig Ahnung von dem Thema habe...
Gruß moe
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