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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Cobra69 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x} dx} [/mm] |
Hallo,
Mir ist bekannt , dass das die Umkehrfunktion von [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
die folgende Lösung hat: Ln(|x|).
Deshalb komme ich bei der Aufgabe auf die
folgende Lösung Ln(|1-x|)+c. Diese Lösung ist aber falsch, weil noch nen Minus vor dem Ln stehen muss. Weiß jetzt nicht so richitg warum. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x} dx}[/mm]
> Hallo,
> Mir ist bekannt , dass das die Umkehrfunktion von
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> die folgende Lösung hat: Ln(|x|).
> Deshalb komme ich bei der Aufgabe auf die
> folgende Lösung Ln(|1-x|)+c. Diese Lösung ist aber
> falsch, weil noch nen Minus vor dem Ln stehen muss.
-Ln(|x-1|) stimmt . vielleicht hilft es, wenn du den Bruch umformst bevor du integrierst!?!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Cobra69 |
Naja dann erhalte ich : [mm] (1-x)^{-1} [/mm] und nun ?
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Hallo Cobra69,
> Naja dann erhalte ich : [mm](1-x)^{-1}[/mm] und nun ?
Um das Integral
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{1-x} dx}
[/mm]
zu berechnen, benötigst du "Lineare Substitution", ansonsten kann ich nur so argumentieren:
Wenn du [mm] \ln(|1-x|) [/mm] wieder ableitest, entsteht ja [mm] \frac{1}{1-x}*(-1), [/mm] weil du ja noch den inneren Ausdruck "nachdifferenzieren" (Anwendung Kettenregel) musst.
Also musst du vor dein Ergebnis [mm] \ln(|1-x|) [/mm] den Faktor (-1) schreiben, damit beim Ableiten sich die beiden (-1) wieder zu 1 wegheben.
Es ist allgemein so, dass du zwar von Funktionen der Form g(mx+n), also zum Beispiel g(x) = [mm] x^{2} [/mm] und g(2x+3) = [mm] (2x+3)^{2} [/mm] zwar die Stammfunktion angeben kannst, in dem du nur g(x) integrierst (so erhältst du dann [mm] \frac{1}{3}*x^{3} [/mm] ), aber das stimmt dann noch nicht, d.h. G(mx+n) ist keine Stammfunktion von g(mx+n).
(Auf das Beispiel bezogen: G(2x+3) = [mm] \frac{1}{3}*(2x+3)^{3} [/mm] ist nicht die richtige Stammfunktion für g(2x+3) = [mm] (2x+3)^{2}.
[/mm]
Du musst dann immer noch überlegen, was als Faktor "entsteht", wenn du G(mx+n) wieder ableitest.
Und hier entsteht als Faktor "2", weil du durch Nachdifferenzieren des inneren Ausdrucks (2x+3)' = 2 eben noch eine 2 als Faktor erhältst:
$G'(2x+3) = [mm] (2x+3)^{2}*2 \not= [/mm] g(2x+3)$.
Um das zu "kompensieren", musst du also deine Stammfunktion G(2x+3) noch mit [mm] \frac{1}{2}, [/mm] und im Allgemeinen eben mit [mm] \frac{1}{m} [/mm] multiplizieren, damit wieder das richtige herauskommt:
$G(2x+3) = [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{3}*(2x+3)^{3}$.
[/mm]
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Bei dir oben war nun m = -1.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Cobra69 |
Danke für deine sehr ausführliche Antwort.
Lineare Substitution ist das Zauberwort.
Also ich möchte die Aufgaben noch mal angehen.
U: 1-x
du/dx = -1
dx=-1*du
Eingesetzt: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{u}*-du}
[/mm]
Minus vor dem Integral gesetzt [mm] :-\integral_{}^{}{\bruch{1}{u}*du}
[/mm]
Integriert ergibt: -Ln(|u|) Rücksubstitution= -Ln(|1-x|)+C
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Huhu,
und um dir deinen Denkfehler aufzuzeigen:
Du weisst, dass das Integral von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] eben $ln(|x|)$ ist, daher ist auch klar, dass das Integral von [mm] \bruch{1}{x + c} [/mm] eben $ln(|x+c|)$ ist.
Deine Funktion im Integral hat aber NICHT die Form [mm] \bruch{1}{x+c}, [/mm] man kann sie aber dahin umformen, nämlich:
[mm] $\bruch{1}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{x-1}$ [/mm]
Nun erhälst du auch deine Lösung, ganz ohne Substitution.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Cobra69 |
Besten Dank an euch (pythagora,steppenhahn,Gonozal). Ich habe nicht nur die Aufgabe lösen können, sondern zusätzlich auch jede Menge hintergrund Informationen erfahren.
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