Und noch´n Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mo 06.07.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Bestimmen sie das Integral.
[mm] \int_{0}^{\frac{1}{2}} cosh^2(x)\,dx [/mm] |
Hallo :)
Ich weiss überhaupt nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Ich weiss, dass ich hier wahrscheinlich mit Partieller Integration rangehn muss, aber wahrscheinlich muss ich die Funktion irgendwie umformen, oder? Und wenn ja, dann weiss ich trotzdem nicht wie.
Kann mir vielleicht jemand helfen?
LG
|
|
| |
|
>
> [mm]\int_{0}^{\frac{1}{2}} cosh^2(x)\,dx[/mm]
> Hallo :)
>
> Ich weiss überhaupt nicht, wie ich bei dieser Aufgabe
> anfangen soll. Ich weiss, dass ich hier wahrscheinlich mit
> Partieller Integration rangehn muss, aber wahrscheinlich
> muss ich die Funktion irgendwie umformen, oder? Und wenn
> ja, dann weiss ich trotzdem nicht wie.
>
> Kann mir vielleicht jemand helfen?
>
> LG
ja partielle integration führt zum ziel. nach dem ersten partiellen integrieren wirst du auf [mm] \integral_{}^{}{sinh^2(x)dx} [/mm] stoßen, welches du dann günstigerweise als [mm] \integral_{}^{}{cosh^2(x)-1} [/mm] schreibst.
dann wird dir auffallen, dass du zwar wieder das ausgangsintegral hast, dies aber auf beiden seiten. -> auf eine seite bringen und dann bist du schon am ziel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mo 06.07.2009 | | Autor: | equity |
Ich komme nicht weiter.
Ich habe mit der Partiellen Integration bis jetzt:
[mm] \int_{0}^{\frac{1}{2}} 1*cosh^2(x)\,dx=x*cosh^2(x)-\int_{0}^{\frac{1}{2}}x*sinh^2(x)\,dx
[/mm]
Ich verstehe nicht wie ich das Integral wegbekomme, auch nicht, wenn ich dann für [mm] sinh^2(x)=cosh^2(x)-1 [/mm] einsetze.
Kann mir jemand zeigen, wie das geht?
LG
|
|
|
| |
|
> Ich komme nicht weiter.
>
> Ich habe mit der Partiellen Integration bis jetzt:
>
> [mm]\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1*cosh^2(x)\,dx=x*cosh^2(x)-\int_{0}^{\frac{1}{2}}x*sinh^2(x)\,dx[/mm]
>
> Ich verstehe nicht wie ich das Integral wegbekomme, auch
> nicht, wenn ich dann für [mm]sinh^2(x)=cosh^2(x)-1[/mm] einsetze.
>
> Kann mir jemand zeigen, wie das geht?
Hallo equity,
hier brauchst du keinen Faktor 1 hinzuzunehmen,
wie das in anderen Situationen ein hilfreicher
"Trick" sein kann. Zerlege einfach das Quadrat in
seine zwei Faktoren:
[mm] cosh^2(x)=cosh(x)*cosh(x)
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 06.07.2009 | | Autor: | equity |
Dann habe ich jetzt:
[mm] \integral_{0}^{\frac{1}{2}} cosh(x)cosh(x)\,dx=sinh(x)cosh(x)-\integral_{0}^{\frac{1}{2}}sinh(x)sinh(x)\,dx
[/mm]
Und [mm] sinh^2(x)=cosh^2(x)-1 [/mm]
Das könnte ich ja dann einsetzen.
Aber wenn ich das integriere, geht dann nicht alles wieder von vorne los?
|
|
|
| |
|
> Dann habe ich jetzt:
>
> [mm]\integral_{0}^{\frac{1}{2}} cosh(x)cosh(x)\,dx=sinh(x)cosh(x)-\integral_{0}^{\frac{1}{2}}sinh(x)sinh(x)\,dx[/mm]
>
> Und [mm]sinh^2(x)=cosh^2(x)-1[/mm]
>
> Das könnte ich ja dann einsetzen.
>
> Aber wenn ich das integriere, geht dann nicht alles wieder
> von vorne los?
das is ja der trick an der sache!
du hast irgendwann
[mm] \integral_{}^{}{cosh^2(x)dx}=......+...-....-\integral_{}^{}{cosh^2(x)dx}
[/mm]
[mm] \gdw 2*\integral_{}^{}{cosh^2(x)dx}=......+...-....
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{}{cosh^2(x)dx}=\frac{1}{2}*(......+...-....)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 06.07.2009 | | Autor: | equity |
Es scheint wahrscheinlich ganz einfach zu sein, aber ich geb´s trotzdem auf, denn ich komme nicht auf die Lösung :(
|
|
|
| |
|
[mm] \integral_{}^{} cosh(x)cosh(x)\,dx=sinh(x)cosh(x)-\integral_{}^{}sinh(x)sinh(x)\,dx [/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{} cosh(x)cosh(x)\,dx=sinh(x)cosh(x)-\integral_{}^{}(cosh^2(x)-1)\,dx [/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{} cosh(x)cosh(x)\,dx=sinh(x)cosh(x)+x-\integral_{}^{}cosh^2(x)\,dx
[/mm]
[mm] \gdw 2*\integral_{}^{} cosh(x)cosh(x)\,dx=sinh(x)cosh(x)+x
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{} cosh(x)cosh(x)\,dx=\frac{1}{2}(sinh(x)cosh(x)+x)
[/mm]
arbeite das mal durch und versuchs mal entsprechend mit sinh, cos oder sin 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mo 06.07.2009 | | Autor: | equity |
Vielen lieben Dank!
Darauf wäre ich echt nicht gekommen :)
|
|
|
| |
|
Hallo equity,
> Bestimmen sie das Integral.
>
> [mm]\int_{0}^{\frac{1}{2}} cosh^2(x)\,dx[/mm]
> Hallo :)
>
> Ich weiss überhaupt nicht, wie ich bei dieser Aufgabe
> anfangen soll. Ich weiss, dass ich hier wahrscheinlich mit
> Partieller Integration rangehn muss, aber wahrscheinlich
> muss ich die Funktion irgendwie umformen, oder?
Das Umformen wäre eine Alternative zur partiellen Integration.
Benutze die Definition des [mm] $\cosh(x)$, [/mm] also [mm] $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
[/mm]
Damit berechne [mm] $\cosh^2(x)$ [/mm] und du kannst das Integral relativ elementar lösen ...
> Und wenn ja, dann weiss ich trotzdem nicht wie.
>
> Kann mir vielleicht jemand helfen?
>
> LG
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
