Uneigentl. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:10 Mo 02.03.2009 | | Autor: | andreji |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{1+x^3}dx} [/mm] |
Hallo.
Ich dachte mir man könne den zu integrierenden Term nach oben abschätzen mit [mm] \bruch{sin(x)}{1+x^3} \le \bruch{1}{1+x^3}, [/mm] denn ich weiß, dass das neue Integral nun existiert. Wie kann das aber nun gezeigt werden? Für das Majorantenkriterium fällt mir keine weitere Folge ein, deren Integral konvergent wäre.
Gruß
Andrej I.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Mo 02.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie folgende uneigentliche Integrale auf
> Konvergenz und absolute Konvergenz:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{1+x^3}dx}[/mm]
> Hallo.
>
> Ich dachte mir man könne den zu integrierenden Term nach
> oben abschätzen mit [mm]\bruch{sin(x)}{1+x^3} \le \bruch{1}{1+x^3},[/mm]
> denn ich weiß, dass das neue Integral nun existiert. Wie
> kann das aber nun gezeigt werden? Für das
> Majorantenkriterium fällt mir keine weitere Folge ein,
> deren Integral konvergent wäre.
>
> Gruß
> Andrej I.
>
Was Du brauchst ist folgendes:
$|sin(x)|$ [mm] \le [/mm] 1 für jedes x , also [mm]\bruch{|sin(x)|}{1+x^3} \le \bruch{1}{1+x^3},[/mm] für jedes x.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 02.03.2009 | | Autor: | andreji |
Hallo Fred. Danke für deine Antwort. Habe die Aufgabe mittels Abschätzung auf [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] gelöst. Die Stammfunktion lautet dann arctan(x) und da existiert das uneigentliche Integral ja.
Gruß
Andrej I.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 02.03.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo andreji,
dafür kannst du folgende Beziehung benutzen:
[mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow\infty}\integral_{a}^r{f(x)dx}
[/mm]
"Einfach" schauen, ob der Grenzwert existiert.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo andreji,
zerlege dein Integral in
$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{1+x^3} \ dx} \ + \ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{1+x^3} \ dx}$
Das kannst du nun im Bereich $0\le x\le 1$ durch 1 abschätzen und für $x>1$ ist $\frac{1}{1+x^3}\le\frac{1}{1+x^2}$
Also $... \le \int\limits_{0}^{1}{1 \ dx} \ + \ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{1+x^2} \ dx}$
Das erste Integral ist offensichtlich endlich, für das hintere setze eine feste obere Grenze $M>1$, berechne das Integral (einfach) und bilde den $\lim\limits_{M\to\infty}$
Das gibt auch einen endlichen Wert, also ist dein Ausgangsintegral insgesamt endlich
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mo 02.03.2009 | | Autor: | andreji |
Danke, Schachuzipus und Maraq. Habe die Aufgabe, so wie ihr gesagt habt, wunderbar gelöst :)
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