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| Aufgabe | Für weleche reellen Zahlen $s [mm] \in \IR$ [/mm] hat das uneigetliche Integral
$ [mm] \integral_{1}^{ \infty}{\bruch{x }{(x^2+1)[ln(x^2+1)]^s}dx}$
[/mm]
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Meine Idee ist:
Integral lösbar für:
[mm] $[ln(x^2+1)]^s \le [/mm] x$ (bekomme das nur nicht gescheit abgeschätzt)
denn:
$ [mm] \integral_{1}^{ \infty}{\bruch{x }{(x^2+1)[ln(x^2+1)]^s}dx}\le \integral_{1}^{ \infty}{\bruch{x }{(x^2+1)x}dx}$ [/mm] für s>?
[mm] $\le \integral_{1}^{ \infty}{\bruch{1 }{(x^2)}dx}$ [/mm] besitzt endlichen wert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 23.03.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Für weleche reellen Zahlen [mm]s \in \IR[/mm] hat das uneigetliche
> Integral
>
> [mm]\integral_{1}^{ \infty}{\bruch{x }{(x^2+1)[ln(x^2+1)]^s}dx}[/mm]
>
>
> Meine Idee ist:
>
> Integral lösbar für:
> [mm][ln(x^2+1)]^s \le x[/mm] (bekomme das nur nicht gescheit
> abgeschätzt)
Du meinst eher [mm] $[\ln(x^2 [/mm] + [mm] 1)]^s \ge [/mm] x$, oder? Ansonsten kommst du nicht auf die Ungleichung die du dann gefolgert hast.
(Die Gleichung muss uebrigens nur fuer alle $x$ gross genug gelten, wenn sie fuer kleine $x$ nicht erfuellt ist macht das nix.)
Aber selbst wenn das funktionieren wuerde, hast du damit evtl. noch nicht alle $s$ erwischt.
Zum Integral: du kannst ja erstmal $y = 1 + [mm] x^2$ [/mm] substituieren. Dann bekommst du (wenn ich mich nicht verrechnet habe) [mm] $\int_2^\infty \frac{1}{2 y (\ln y)^s} \; [/mm] dy$, was schonmal etwas schoener aussieht 
Fuer $s [mm] \le [/mm] 0$ kannst du sofort sehen, dass das Integral divergiert, da du den Integranden dann fuer gross genuges $y$ durch [mm] $\frac{1}{2 y}$ [/mm] nach unten abschaetzen kannst.
Wie es fuer $s > 0$ aussieht weiss ich nicht. Laut Maple divergiert es z.B. fuer $s = 2$, fuer $s = 1.9$ scheint es zu konvergieren, ...
LG Felix
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Da könnte man dann doch auch noch gleich [mm]\ln{y} = t[/mm] substituieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Do 23.03.2006 | | Autor: | Mr.Peanut |
> Wie es fuer [mm]s > 0[/mm] aussieht weiss ich nicht. Laut Maple
> divergiert es z.B. fuer [mm]s = 2[/mm], fuer [mm]s = 1.9[/mm] scheint es zu
> konvergieren, ...
Ich glaube hast 2 und 1.9 vertauscht ist jetzt aber egal.
Habs jetzt dank deiner Hilfe mit Substitution gelöst.
subst mit [mm] $y=ln(x^2+1)$
[/mm]
kommt s>=2 raus.
PS: wie bekommt man das rot grüne kästchen vor meiner Frage weg.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Mr.Peanut |
Oh stimmt. :)
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